Mathématiques · 6e · environ 20 min
Calculer une probabilité par dénombrement
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un petit cercle pour chaque objet que tu peux tirer. Entoure les cercles qui correspondent au résultat demandé. Écris une fraction : le nombre de cercles entourés au-dessus du nombre de cercles dessinés. Compte les objets, pas seulement les couleurs différentes.
Cette méthode fonctionne si chaque cercle représente un résultat ayant la même chance de se produire. Des zones de roue de tailles différentes ne peuvent pas être comptées comme si elles avaient la même chance.
Prends des petits papiers identiques et inscris un résultat sur chacun. Sépare les papiers qui conviennent des autres. Compte le tas qui convient, puis rassemble les deux tas pour compter le total. La probabilité est le nombre de papiers qui conviennent divisé par le nombre total de papiers. Tu n’as pas besoin de faire beaucoup de tirages pour la calculer.
Les papiers doivent être indiscernables une fois pliés et bien mélangés. Quelques essais ne donnent pas forcément exactement la probabilité calculée.
Si plusieurs sortes d’objets conviennent, compte tous les objets de ces sortes, sans compter le même objet deux fois. Si tu cherches les objets d’un groupe sauf certains, retire ceux qui sont exclus. Dans les deux cas, le nombre total d’objets possibles reste le même : seul le nombre d’objets favorables change.
Pour additionner directement deux nombres de résultats favorables, les groupes ne doivent pas se recouvrir. S’ils ont des objets en commun, ces objets ne doivent être comptés qu’une fois.
Les pièges
Mettre le nombre de résultats défavorables au dénominateur.
Tu as bien repéré les objets qui conviennent. Pour le nombre du bas, rassemble maintenant tous les objets, même ceux qui conviennent.
Compter les couleurs au lieu de compter les objets.
Représente chaque objet par un petit trait. Compte ensuite les traits de la couleur demandée et tous les traits.
Ajouter les dénominateurs quand plusieurs groupes conviennent.
Tu as réuni les groupes qui conviennent. Garde le même total en bas : aucun objet n’a été ajouté à la collection.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Calculer une probabilité permet de mesurer les chances qu’un événement se produise. On peut l’utiliser pour étudier un tirage au sort, un lancer de dé ou un jeu de hasard.
Le cours
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude. Chaque résultat possible s’appelle une issue. Par exemple, lorsqu’on tire une bille dans un sac, chaque bille que l’on peut tirer correspond à une issue.
Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire. C’est le cas, par exemple, lorsqu’on tire au hasard une bille dans un sac bien mélangé contenant des billes indiscernables au toucher. Attention : avoir plusieurs couleurs ne signifie pas que chaque couleur a la même chance d’être obtenue.
Un événement est ce que l’on cherche à obtenir, par exemple « tirer une bille verte ». Les issues favorables sont celles qui réalisent cet événement. Pour les dénombrer, on les compte soigneusement, sans en oublier et sans compter plusieurs fois la même issue.
Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est une fraction : probabilité = nombre d’issues favorables / nombre total d’issues possibles. Le nombre d’issues favorables est le numérateur ; le nombre total d’issues possibles est le dénominateur. On peut simplifier cette fraction lorsque c’est possible.
Une probabilité est comprise entre 0 et 1. Un événement impossible a une probabilité égale à 0 : aucune issue n’est favorable. Un événement certain a une probabilité égale à 1 : toutes les issues sont favorables. Si les issues n’ont pas toutes la même chance de se produire, on ne peut pas appliquer directement cette règle de dénombrement.
Des exemples
Un sac contient 18 billes indiscernables au toucher, dont 7 billes vertes. On mélange les billes, puis on en tire une au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une bille verte ?
Chaque bille a la même chance d’être tirée. On compte 7 issues favorables parmi 18 issues possibles. La probabilité de tirer une bille verte est donc 7/18, soit 7/18.
Une boîte contient 21 jetons indiscernables au toucher : 5 sont jaunes, 9 sont bleus et les autres sont rouges. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilité de tirer un jeton jaune ou bleu ?
Tous les jetons ont la même chance d’être tirés. Les jetons jaunes et les jetons bleus sont favorables, et aucun jeton n’a les deux couleurs. Il y a donc 5 + 9 issues favorables parmi 21 issues possibles. La probabilité cherchée est (5 + 9)/21 = 5/21 + 9/21 = 2/3.
À retenir
- Vérifier que toutes les issues ont la même chance de se produire.
- Compter toutes les issues possibles.
- Compter les issues favorables à l’événement demandé.
- Écrire : probabilité = nombre d’issues favorables / nombre total d’issues possibles.
- Simplifier la fraction si possible et vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1.
Les mots de la leçon
- Issue
- Résultat possible d’une expérience aléatoire.
- Événement
- Ce que l’on cherche à obtenir ; il peut être réalisé par plusieurs issues, par une seule ou par aucune.
- Issue favorable
- Issue qui réalise l’événement étudié.
- Équiprobabilité
- Situation dans laquelle toutes les issues ont la même chance de se produire.
- Dénombrer
- Compter les éléments d’un ensemble, sans oubli et sans répétition.
- Probabilité
- Nombre compris entre 0 et 1 qui mesure les chances qu’un événement se produise.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans un sac, chaque jeton a la même chance d’être tiré. Pour trouver la probabilité de tirer un jeton bleu, compte les jetons bleus et tous les jetons : la probabilité s’écrit « nombre de jetons bleus / nombre total de jetons ».
Une boîte contient un jeton orange, un jeton violet et un jeton blanc, identiques au toucher. Tu tires un jeton sans regarder. Quelle est la probabilité de tirer le jeton violet ?
- Compte tous les jetons : il y en a trois.Chaque jeton est un résultat possible du tirage, et tous ont la même chance d’être tirés.
- Repère les jetons qui conviennent : seul le jeton violet convient.Un résultat est favorable quand il correspond à ce que tu cherches.
- Écris le nombre de jetons favorables au-dessus du nombre total de jetons : la probabilité est un tiers.Tu compares le nombre de résultats qui conviennent au nombre de résultats possibles.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Dans une situation simple d’équiprobabilité, dénombrer les issues favorables et les issues possibles, puis exprimer la probabilité par leur rapport.
- Au programme
- 6e · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers