Repérer la proportionnalité dans les prix, recettes, distances et échelles

La proportionnalité permet de comprendre comment un prix, une quantité d’ingrédients, une distance ou une longueur sur un plan varie avec une autre grandeur. Pour la reconnaître, il faut identifier les deux grandeurs et préciser ce qui reste constant.

Le cours

1. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Il faut préciser le sens du calcul : par exemple, pour passer d’une masse en kilogrammes à un prix en euros, le coefficient est le prix par kilogramme.

2. Pour reconnaître une situation de proportionnalité, commence par nommer les deux grandeurs et leurs unités. Cherche ensuite si un même nombre permet toujours de passer de la première à la seconde. Dans un tableau, tu peux calculer le quotient de la seconde valeur par la première, lorsque celle-ci n’est pas nulle : les quotients doivent être égaux. Si une quantité double, l’autre doit aussi doubler, mais cette seule vérification ne suffit pas à garantir la proportionnalité dans tous les cas.

3. Pour un achat, le prix total est proportionnel à la quantité achetée si le prix à l’unité reste constant, sans frais fixes ni réduction qui modifie ce prix. Dans une recette, la quantité de chaque ingrédient est proportionnelle au nombre de personnes si l’on conserve les mêmes quantités par personne. Ce qui reste constant est donc le prix par unité ou la quantité d’ingrédient par personne.

4. Pour un déplacement à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet : distance = vitesse × durée, avec des unités compatibles. Ce qui reste constant est la vitesse. Si le déplacement comprend des arrêts ou des changements de vitesse, on ne peut pas utiliser cette règle pour toutes les durées sans autre information.

5. Sur un plan ou une carte à échelle fixe, les longueurs représentées sont proportionnelles aux longueurs réelles. L’échelle est le quotient d’une longueur sur le plan par la longueur réelle correspondante, toutes deux exprimées dans la même unité. Pour passer du plan à la réalité, on multiplie toutes les longueurs par un même nombre ; pour revenir au plan, on divise par ce nombre. Attention : un prix de départ fixe auquel on ajoute un montant selon la distance n’est pas proportionnel à la distance, car le prix ne double pas quand la distance double.

Des exemples

• Des poires coûtent 2,8 € par kilogramme, sans réduction ni frais supplémentaires. On en achète 7 kg. Quelles sont les grandeurs en jeu ? Le prix est-il proportionnel à la masse achetée ? Calcule le prix à payer.

  Les grandeurs sont la masse de poires, en kilogrammes, et le prix total, en euros. Le prix par kilogramme reste égal à 2,8 € : le prix total est donc proportionnel à la masse. Pour passer de la masse au prix, on multiplie par 2,8. Le calcul est 7 × 2,8 = 98/5. Le prix à payer est 98/5 €.

• Pour préparer une salade de riz, on prévoit 85 g de riz par personne. On garde les mêmes proportions pour 9 personnes. Quelles grandeurs sont proportionnelles ? Quelle masse de riz faut-il préparer ?

  Les grandeurs sont le nombre de personnes et la masse de riz, en grammes. La quantité par personne reste égale à 85 g : la masse de riz est donc proportionnelle au nombre de personnes. On calcule 9 × 85 = 765. Il faut préparer 765 g de riz.

• Un cycliste roule à la vitesse constante de 18 km/h pendant 2,5 h, sans arrêt. Quelles grandeurs sont proportionnelles ? Quelle distance parcourt-il ?

  Les grandeurs sont la durée du trajet, en heures, et la distance parcourue, en kilomètres. La vitesse reste égale à 18 km/h : la distance est donc proportionnelle à la durée. Les unités sont compatibles et on calcule 18 × 2,5 = 45. Le cycliste parcourt 45 km.

• Sur une carte à échelle fixe, chaque centimètre représente 25000 cm dans la réalité. Un chemin mesure 6 cm sur cette carte. Quelles grandeurs sont proportionnelles ? Calcule la longueur réelle du chemin en centimètres.

  Les grandeurs sont la longueur sur la carte et la longueur réelle, toutes deux exprimées en centimètres. Le nombre qui permet de passer de la carte à la réalité reste égal à 25000 : ces longueurs sont donc proportionnelles. On calcule 6 × 25000 = 150000. La longueur réelle du chemin est 150000 cm.