Mathématiques · 5e · environ 20 min
Démontrer l’égalité des aires créées par une médiane
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un triangle ABC et place M au milieu de [BC]. Marque [BM] et [MC] avec le même petit trait pour signaler leurs longueurs égales. Trace ensuite la perpendiculaire à (BC) passant par A : elle donne la hauteur commune aux triangles ABM et ACM. Regarde les deux informations utiles : des bases égales et une même hauteur.
L'apparence du dessin ne suffit pas : il faut savoir que M est le milieu. Le pied de la hauteur peut se trouver sur le prolongement de [BC].
Découpe un triangle en papier suivant une médiane. Avec une bande de papier, reporte la base de chaque morceau : les repères coïncident. Pose ensuite chaque morceau avec cette base sur une même ligne de ta table, les sommets du même côté. Une règle placée parallèlement à cette ligne passe par les deux sommets opposés : les hauteurs sont égales. Utilise alors la formule de l'aire pour expliquer pourquoi les morceaux ont la même aire.
La manipulation aide à observer, mais sa précision ne remplace pas une démonstration. Les morceaux ne sont pas forcément superposables : on ne cherche pas à prouver qu'ils ont la même forme.
Pars de ce que tu sais : la médiane rejoint le sommet au milieu du côté opposé. Déduis-en l'égalité des deux bases. Justifie ensuite la hauteur commune par le sommet commun et les bases portées par la même droite. Termine avec la formule de l'aire d'un triangle : mêmes bases et même hauteur donnent des aires égales.
Dire seulement « c'est une médiane » ne détaille pas la démonstration demandée. Il faut expliquer le rôle du milieu et celui de la hauteur commune.
Les pièges
Affirmer que les aires sont égales uniquement parce que les bases sont égales.
Tu as repéré une information utile. Ajoute maintenant que les triangles ont le même sommet et des bases portées par la même droite : leur hauteur est donc commune.
Prendre la médiane pour la hauteur.
Repère séparément les deux rôles : la médiane donne le milieu ; la perpendiculaire à la droite portant les bases donne la hauteur.
Dire que les triangles doivent avoir la même forme pour avoir la même aire.
Ne cherche pas à faire coïncider tous les côtés. Compare seulement les bases et les hauteurs utilisées dans la formule de l'aire.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Une médiane permet de partager un triangle en deux triangles de même aire. Pour le démontrer, on compare leurs bases et leurs hauteurs : cette propriété permet ensuite de calculer une aire sans mesurer toutes les longueurs.
Le cours
Dans un triangle ABC, la médiane issue de A est le segment qui relie A au milieu du côté [BC]. Si M est le milieu de [BC], alors [AM] est une médiane et BM = MC.
Les triangles ABM et ACM ont donc des bases [BM] et [MC] de même longueur. Ces bases sont portées par la même droite (BC). Les deux triangles ont aussi le même sommet A : ils ont donc une hauteur commune, qui est la distance de A à la droite (BC).
L’aire d’un triangle se calcule avec la formule : aire = (base × hauteur) ÷ 2. En notant h la hauteur commune, on obtient aire(ABM) = (BM × h) ÷ 2 et aire(ACM) = (MC × h) ÷ 2. Puisque BM = MC, ces deux aires sont égales.
Une médiane partage un triangle en deux triangles d’aires égales. Les deux triangles ainsi obtenus forment ensemble le triangle de départ, sans se chevaucher : l’aire de chacun est donc égale à la moitié de l’aire du triangle de départ.
Pour rédiger la démonstration, il faut justifier les deux éléments : les bases sont de même longueur parce que la médiane rejoint le milieu du côté opposé, et la hauteur est commune parce que les bases sont sur la même droite et que le sommet opposé est le même. Le dessin seul ne suffit pas à prouver l’égalité des aires.
Des exemples
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [BC]. L’aire de ABC est de 78 cm². Démontre que les triangles ABM et ACM ont la même aire, puis calcule l’aire de ABM.
Puisque M est le milieu de [BC], on a BM = MC. Les triangles ABM et ACM ont des bases de même longueur, portées par la droite (BC), et une hauteur commune issue de A. Leurs aires sont donc égales. Comme ils forment le triangle ABC, l’aire de ABM est la moitié de 78 cm², soit 39 cm².
Le triangle DEF a une aire de 115 cm². Le segment [EN] est la médiane issue de E, avec N sur [DF]. Justifie que les triangles DEN et FEN ont la même aire, puis détermine l’aire de FEN.
Comme [EN] est une médiane, N est le milieu de [DF] : DN = NF. Les triangles DEN et FEN ont donc des bases de même longueur sur la droite (DF). Leur hauteur issue de E est commune. La formule de l’aire d’un triangle donne alors des aires égales. L’aire de FEN est ainsi la moitié de 115 cm², soit 115/2 cm².
À retenir
- Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé.
- Le milieu donne deux bases de même longueur.
- Les triangles formés ont une hauteur commune.
- Aire d’un triangle = (base × hauteur) ÷ 2.
- Une médiane partage un triangle en deux triangles d’aires égales.
- Chaque aire obtenue est la moitié de l’aire du triangle de départ.
Les mots de la leçon
- Médiane d’un triangle
- Segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé.
- Milieu d’un segment
- Point du segment qui le partage en deux segments de même longueur.
- Base d’un triangle
- Côté choisi pour calculer l’aire du triangle. Chaque côté peut servir de base.
- Hauteur associée à une base
- Distance entre le sommet opposé et la droite qui porte la base. Elle se mesure perpendiculairement à cette droite.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans un triangle ABC, si M est le milieu de [BC], alors BM = MC. Les triangles ABM et ACM ont aussi la même hauteur : la distance de A à la droite (BC). Leurs aires sont donc égales, car on calcule chacune en multipliant une même longueur de base par une même hauteur, puis en divisant par deux.
Dans un triangle ABC, M est le milieu de [BC]. Rédige une démonstration prouvant que les triangles ABM et ACM ont la même aire.
- Comme M est le milieu de [BC], on a BM = MC.Le milieu d'un segment le partage en deux segments de même longueur.
- On appelle H le pied de la perpendiculaire à (BC) passant par A. La longueur AH est une hauteur pour chacun des triangles ABM et ACM.Les bases [BM] et [MC] sont portées par la même droite (BC), et les triangles ont le même sommet A.
- L'aire de ABM vaut BM × AH ÷ 2 et l'aire de ACM vaut MC × AH ÷ 2.L'aire d'un triangle est le produit d'une base par la hauteur correspondante, divisé par deux.
- Puisque BM = MC et que la hauteur AH est commune, les aires de ABM et ACM sont égales.Les deux calculs utilisent les mêmes longueurs et la même division.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Rédiger une démonstration établissant que les deux triangles formés par une médiane ont des bases de même longueur et une hauteur commune, donc des aires égales.
- Au programme
- 5e · BO n°10 du 5 mars 2026, arrêté du 18 février 2026, MENE2602912A (cycle 4, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers