Calculer l’aire d’un disque et le volume d’un cylindre

Calculer l’aire d’un disque permet de connaître la surface qu’il occupe, par exemple pour recouvrir une table ronde. Calculer le volume d’un cylindre permet de connaître l’espace qu’il occupe ou la quantité qu’un récipient cylindrique peut contenir.

Le cours

1. Un disque est la surface située à l’intérieur d’un cercle, bord compris. Son rayon r est la distance entre son centre et un point du cercle. Son diamètre d passe par le centre et vaut deux fois le rayon : d = 2 × r, donc r = d ÷ 2. Avant de calculer, vérifie si la longueur donnée est un rayon ou un diamètre.

2. L’aire d’un disque se calcule avec la formule A = π × r². Cela signifie A = π × r × r : on multiplie le rayon par lui-même, puis par π. Le nombre π n’est pas égal à 3,14 : 3,14 est seulement une valeur approchée. Une aire s’exprime dans une unité carrée, par exemple en mm², en cm² ou en m².

3. Un cylindre de révolution possède deux bases qui sont des disques de même rayon, parallèles et superposables. Sa hauteur h est la distance entre les deux bases, mesurée perpendiculairement à celles-ci. Sur un dessin en perspective, les bases peuvent sembler ovales, mais ce sont bien des disques.

4. Le volume d’un cylindre se calcule en multipliant l’aire d’une base par la hauteur : V = π × r² × h. On calcule donc le carré du rayon, puis on multiplie par π et par la hauteur. Le rayon et la hauteur doivent être exprimés dans la même unité de longueur. Avec des longueurs en cm, le volume est en cm³ ; avec des longueurs en m, il est en m³.

5. Pour donner une valeur exacte, on conserve π dans le résultat, après avoir effectué les autres multiplications. Pour obtenir une valeur approchée, on utilise la touche π de la calculatrice, puis on arrondit à la précision demandée. On écrit = devant une valeur exacte et ≈ devant une valeur approchée. Si l’on remplace π par 3,14, il faut le préciser : le résultat obtenu est une approximation.

Des exemples

• Un disque a un rayon de 7 cm. Calcule son aire exacte en élevant son rayon à la puissance 2.

  On calcule d’abord le carré du rayon : 7 × 7 = 49. L’aire exacte du disque est donc A = 49π cm². On conserve π pour ne pas remplacer la valeur exacte par une approximation.

• L’aire exacte d’un disque est 49π cm². Donne une valeur approchée de cette aire en utilisant π ≈ 3,14.

  On remplace π par 3,14, puis on effectue le produit 49 × 3,14. On obtient A ≈ 7693/50 cm². Le symbole ≈ rappelle que cette valeur n’est pas exacte.

• La base d’un cylindre a une aire exacte de 169π cm² et sa hauteur mesure 8 cm. Calcule son volume exact.

  Le volume est égal à l’aire d’une base multipliée par la hauteur. On calcule 169 × 8 = 1352, en conservant le facteur π. Le volume exact est donc V = 1352π cm³.

• Le volume exact d’un cylindre est 1352π cm³. Donne une valeur approchée de ce volume en utilisant π ≈ 3,14.

  On effectue le produit 1352 × 3,14. Avec cette approximation de π, on obtient V ≈ 106132/25 cm³. L’unité est une unité cubique, car on mesure un volume.