Distinguer une mesure d’une preuve géométrique

En géométrie, une figure peut donner une idée sans garantir qu’elle est vraie. Cette leçon t’apprend à distinguer une observation obtenue avec un instrument d’une conclusion démontrée grâce aux données et aux propriétés géométriques.

Le cours

1. Mesurer une longueur avec une règle ou un angle avec un rapporteur donne une valeur approchée. Le tracé, l’épaisseur des traits et la lecture de l’instrument peuvent entraîner des imprécisions. Au collège, la mesure ne constitue plus un élément de preuve : mesurer des segments et trouver la même valeur ne suffit pas à démontrer qu’ils ont exactement la même longueur.

2. Une preuve géométrique s’appuie sur des informations certaines : les données de l’énoncé, les codages de la figure et les propriétés connues. Par exemple, si l’énoncé indique qu’un point est le milieu d’un segment, on peut affirmer qu’il partage ce segment en segments de même longueur, sans utiliser de règle graduée.

3. Pour justifier une conclusion, on suit un raisonnement : on indique ce que l’on sait, on cite la définition ou la propriété utilisée, puis on explique ce que l’on en déduit. Un calcul peut faire partie de cette preuve, à condition de s’appuyer sur des données certaines et sur une propriété adaptée.

4. Il faut distinguer une longueur donnée par l’énoncé d’une longueur relevée sur le dessin. Une donnée peut être utilisée dans une preuve ; une mesure prise sur la figure ne suffit pas. De même, un angle qui semble droit ou des droites qui semblent parallèles ne sont pas nécessairement indiqués comme tels.

5. Observer et mesurer restent utiles pour formuler une conjecture, c’est-à-dire une affirmation que l’on pense vraie. Pour la démontrer, il faut ensuite chercher une justification indépendante des mesures prises sur le dessin. Une figure peut d’ailleurs être volontairement tracée sans respecter les dimensions indiquées.

Des exemples

• Avec une règle graduée, on mesure AB et AC sur un dessin. On lit AB = 6,7 cm et AC = 6,7 cm. Calcule l’écart entre les valeurs lues. Peut-on en déduire que le triangle ABC est isocèle en A ?

  L’écart entre les valeurs lues est de 0 cm : les mesures semblent donc identiques. Pourtant, elles sont approchées. Cela permet de conjecturer que le triangle est isocèle en A, mais pas de le démontrer. Il faudrait une donnée ou une propriété permettant d’affirmer que AB = AC.

• L’énoncé indique que M est le milieu du segment [AB] et que AM = 4,8 cm. Justifie que AB = 2 × AM, puis calcule AB sans mesurer le dessin.

  Puisque M est le milieu de [AB], M appartient à [AB] et AM = MB. Ainsi, AB = AM + MB = 2 × AM. En utilisant la longueur donnée, on obtient AB = 48/5 cm. On trouve cette longueur à partir de la définition du milieu et d’une donnée de l’énoncé, sans prendre de mesure sur le dessin.

• Les points A, O et C sont alignés, avec O entre A et C. Le point B n’appartient pas à la droite (AC). L’énoncé donne l’angle AOB égal à 73°. Justifie que les angles AOB et BOC ont pour somme 180°, puis détermine l’angle BOC sans rapporteur.

  Comme A, O et C sont alignés et que O est entre A et C, l’angle AOC est un angle plat. Les angles AOB et BOC ont donc pour somme 180°. On en déduit que l’angle BOC mesure 180° − 73°, soit 107°. Ce calcul s’appuie sur l’alignement donné et sur la mesure d’un angle plat ; il ne repose pas sur une lecture au rapporteur.