Reconnaître et construire une figure symétrique sur quadrillage

La symétrie axiale permet de reconnaître et de construire une figure comme si elle se reflétait dans un miroir. Sur un quadrillage, on utilise les lignes et les intersections pour placer précisément les sommets de son image.

Le cours

1. L’axe de symétrie est la droite qui joue le rôle du miroir. Si un point A n’est pas sur l’axe, son symétrique A′ se trouve de l’autre côté : le segment [AA′] est perpendiculaire à l’axe et son milieu appartient à l’axe. Les points A et A′ sont donc à la même distance de l’axe. Si A appartient à l’axe, son symétrique est A lui-même.

2. Pour un axe vertical, place A′ sur la même ligne horizontale que A. Compte les carreaux entre A et l’axe, puis reporte ce nombre de carreaux de l’autre côté. Pour un axe horizontal, procède de la même façon sur la ligne verticale passant par A. La distance à l’axe se mesure toujours perpendiculairement à celui-ci.

3. Pour un axe qui suit une diagonale des carreaux, la direction perpendiculaire suit l’autre diagonale. Depuis A, suis cette direction jusqu’à l’axe, puis prolonge le trajet de la même longueur de l’autre côté pour placer A′. Si tu comptes des déplacements diagonaux, conserve toujours la même taille de pas. Tu peux aussi choisir une intersection du quadrillage située sur l’axe comme point de départ : les déplacements horizontal et vertical s’échangent. Pour un axe montant de gauche à droite, un déplacement vers la droite devient un déplacement vers le haut ; pour un axe descendant de gauche à droite, un déplacement vers la droite devient un déplacement vers le bas, et réciproquement.

4. Pour construire le symétrique d’un polygone, construis l’image de chaque sommet et nomme les points obtenus, par exemple A′, B′ et C′. Relie ensuite les sommets images dans le même ordre que les sommets de départ. La symétrie conserve les longueurs et les angles : la figure obtenue a la même forme et les mêmes dimensions, mais elle est retournée comme dans un miroir.

5. Pour sélectionner la bonne figure parmi plusieurs propositions, repère les sommets correspondants et vérifie leur position par rapport à l’axe. Chaque sommet et son image doivent être à égale distance de l’axe, sur une même perpendiculaire, de part et d’autre de celui-ci. Les sommets situés sur l’axe doivent rester en place. Une figure de même forme et de même taille ne suffit pas : tous ces contrôles doivent être respectés.

Des exemples

• Un sommet A est situé à 11 carreaux à gauche d’un axe vertical. Construis son symétrique A′, puis détermine la longueur du segment [AA′] en carreaux.

  Place A′ sur la même ligne horizontale que A, à 11 carreaux à droite de l’axe. Le segment [AA′] comprend 2 distances égales à celle qui sépare A de l’axe. Sa longueur est donc 11 × 2 = 22 carreaux.

• Un sommet B se trouve à 13 carreaux au-dessus d’un axe horizontal. Une figure proposée place son sommet correspondant B′ sur la même ligne verticale, à 13 carreaux au-dessous de l’axe. Cette position convient-elle ? Quelle est la longueur de [BB′] en carreaux ?

  Les distances 13 et 13 sont égales. B et B′ sont de part et d’autre de l’axe, sur une même perpendiculaire : la position de B′ convient. La longueur de [BB′] est 13 + 13 = 26 carreaux. Pour valider toute la figure, il faut contrôler de la même façon les autres sommets.

• Un axe suit une diagonale du quadrillage montant de gauche à droite. Depuis une intersection O située sur cet axe, on atteint un sommet C en allant de 9 carreaux vers la droite et de 17 carreaux vers le haut. Où placer son symétrique C′ ? De combien de carreaux faut-il se déplacer horizontalement puis verticalement pour aller de C à C′ ?

  Pour cet axe diagonal, les déplacements vers la droite et vers le haut s’échangent. Depuis O, place donc C′ à 17 carreaux vers la droite et à 9 carreaux vers le haut. Comme 17 est supérieur à 9, passer de C à C′ revient à avancer de 17 − 9 = 8 carreaux vers la droite, puis à descendre de 8 carreaux.