Mathématiques · 5e · environ 15 min
Extraire la partie entière d’une fraction
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine plusieurs bandes identiques. Partage chaque bande en autant de cases que l’indique le dénominateur. Colorie au total autant de cases que l’indique le numérateur, en terminant une bande avant de commencer la suivante. Compte les bandes pleines : c’est la partie entière. Sur la dernière bande, le nombre de cases coloriées devient le numérateur de la fraction restante ; le dénominateur ne change pas.
Les bandes doivent représenter la même unité et être partagées en parts égales. Si les nombres sont grands, la division euclidienne est plus rapide que le dessin.
Divise le numérateur par le dénominateur avec une division euclidienne. Écris ensuite : fraction de départ = quotient + reste/dénominateur. Vérifie toujours que le reste est positif ou nul et plus petit que le dénominateur. Si le reste est nul, la fraction de départ est un entier.
Cette méthode s’applique à un numérateur entier positif ou nul et à un dénominateur entier strictement positif. Il faut utiliser le quotient entier et le reste, pas seulement une valeur décimale approchée.
Cherche deux multiples consécutifs du dénominateur qui encadrent le numérateur. Le plus petit indique combien d’unités complètes tu peux prendre. Soustrais ce multiple au numérateur : tu obtiens le reste. Le multiple suivant dépasse le numérateur, donc il n’y a pas assez de parts pour former une unité supplémentaire.
Les multiples doivent être consécutifs. Si tu choisis un multiple trop petit, la fraction restante peut encore contenir une unité entière.
Les pièges
Utiliser le quotient décimal à la place du quotient entier.
Cherche seulement les groupes complets, puis ce qui reste. Écris : numérateur = dénominateur × quotient entier + reste.
Changer le dénominateur de la fraction restante.
Les parts n’ont pas changé de taille. Garde le dénominateur de départ et place le reste au numérateur.
S’arrêter avec un reste supérieur ou égal au dénominateur.
Ta fraction restante contient encore au moins une unité complète. Augmente la partie entière et cherche un reste plus petit que le dénominateur.
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La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Extraire la partie entière d’une fraction permet de voir combien d’unités entières elle contient et quelle fraction d’unité il reste. Cette écriture est utile pour mieux comprendre la valeur d’une fraction et la situer entre deux entiers consécutifs.
Le cours
Toute fraction positive peut s’écrire comme la somme d’un entier et d’une fraction comprise entre 0 inclus et 1 exclu. L’entier obtenu est appelé la partie entière de la fraction : c’est le plus grand entier inférieur ou égal à cette fraction.
Pour trouver cette écriture, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Si on appelle a le numérateur et b le dénominateur, avec b strictement positif, on obtient : a = b × q + r, où q est le quotient et r le reste, avec 0 ≤ r < b.
On en déduit : a/b = q + r/b. Le quotient q est la partie entière. Le reste r devient le numérateur de la fraction restante, et le dénominateur b ne change pas. Comme 0 ≤ r < b, on a bien 0 ≤ r/b < 1.
Si le numérateur est inférieur au dénominateur, la partie entière est 0 : la fraction est déjà comprise entre 0 inclus et 1 exclu. Si la division est exacte, le reste est 0 et la fraction est égale à un entier.
Pour vérifier une décomposition, on contrôle que le numérateur de départ est égal au dénominateur multiplié par la partie entière, auquel on ajoute le reste. On vérifie aussi que le reste est positif ou nul et strictement inférieur au dénominateur.
Des exemples
Écris la fraction 47/9 comme la somme de sa partie entière et d’une fraction inférieure à l’unité.
On effectue la division euclidienne de 47 par 9 : 5 reste 2. Appelons q le quotient obtenu et r le reste. La décomposition est donc 47/9 = q + r/9. Le quotient donne la partie entière, et le reste devient le numérateur de la fraction restante.
Décompose la fraction 7/12 en faisant apparaître sa partie entière.
On effectue la division euclidienne de 7 par 12 : 0 reste 7. Le numérateur étant inférieur au dénominateur, la fraction est déjà inférieure à l’unité. Le quotient obtenu est sa partie entière et le reste est égal au numérateur de départ : la fraction restante est donc 7/12.
Extrais la partie entière de la fraction 56/8.
On effectue la division euclidienne de 56 par 8 : 7 reste 0. La division est exacte : il ne reste aucune fraction d’unité. La fraction 56/8 est donc égale au quotient obtenu.
À retenir
- Divise le numérateur par le dénominateur en utilisant la division euclidienne.
- Le quotient est la partie entière de la fraction.
- Le reste devient le numérateur de la fraction restante ; le dénominateur ne change pas.
- Si a = b × q + r, alors a/b = q + r/b.
- La fraction restante doit être comprise entre 0 inclus et 1 exclu.
- Si le reste est nul, la fraction est égale à un entier.
Les mots de la leçon
- Numérateur
- Nombre écrit au-dessus de la barre de fraction.
- Dénominateur
- Nombre écrit sous la barre de fraction. Il indique en combien de parts égales l’unité est partagée et ne peut pas être nul.
- Division euclidienne
- Division de deux entiers qui donne un quotient entier et un reste : dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste positif ou nul et strictement inférieur au diviseur.
- Partie entière
- Plus grand entier inférieur ou égal au nombre considéré. Pour une fraction positive, elle correspond au nombre d’unités entières contenues dans cette fraction.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour décomposer 17/5, imagine des bandes partagées chacune en cinq cases : tu dois colorier dix-sept cases en remplissant les bandes dans l’ordre. Les bandes entièrement coloriées donnent la partie entière ; les cases restantes donnent une fraction de bande. La division euclidienne permet de trouver ces deux parties sans dessiner toutes les cases.
Décompose une fraction dont le numérateur s’écrit d × q + r et dont le dénominateur est d. Les lettres désignent des entiers, avec d strictement positif et un reste r positif ou nul, strictement inférieur à d.
- Écris la fraction sous la forme (d × q + r)/d.L’écriture du numérateur donne déjà une division euclidienne : q est le quotient et r est le reste.
- Sépare les deux parties : (d × q)/d + r/d.Les deux termes du numérateur sont divisés par le même dénominateur.
- Obtiens q + r/d.Le terme (d × q)/d vaut q : il représente les unités complètes.
- Vérifie que r est positif ou nul et strictement inférieur à d.Ainsi, r/d est compris entre zéro inclus et un exclu : la décomposition est terminée.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Décomposer une fraction positive en la somme d’un entier et d’une fraction comprise entre 0 inclus et 1 exclu en utilisant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
- Au programme
- 5e · BO n°10 du 5 mars 2026, arrêté du 18 février 2026, MENE2602912A (cycle 4, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers