Comparer, additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques

Pour comparer des proportions ou calculer des quantités exprimées en fractions, il faut parfois transformer leur écriture. Les mettre au même dénominateur permet de comparer, d’additionner ou de soustraire des parts de même taille.

Le cours

1. Une fraction ne change pas de valeur si l’on multiplie ou si l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Par exemple, 3/5 = 6/10 : on a multiplié le numérateur et le dénominateur par 2. Ces deux écritures représentent la même quantité.

2. Mettre des fractions au même dénominateur, c’est les remplacer par des fractions égales ayant le même dénominateur. Pour cela, on cherche un multiple commun aux dénominateurs. Si l’un est un multiple de l’autre, on peut choisir le plus grand. Sinon, le produit des dénominateurs convient toujours, mais un multiple commun plus petit permet souvent de calculer plus facilement. On multiplie ensuite le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le nombre nécessaire.

3. Pour comparer deux fractions de dénominateurs positifs, on peut les mettre au même dénominateur, puis comparer leurs numérateurs : la fraction qui a le plus grand numérateur est la plus grande. Par exemple, 4/9 = 20/45 et 7/15 = 21/45, donc 4/9 < 7/15. Avant de transformer les fractions, on peut parfois conclure directement : une fraction dont le numérateur est inférieur au dénominateur est inférieure à 1 ; si son numérateur est supérieur au dénominateur, elle est supérieure à 1.

4. Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on commence par les mettre au même dénominateur. On additionne ou on soustrait ensuite les numérateurs, en conservant le dénominateur commun. On n’additionne et on ne soustrait jamais les dénominateurs. Par exemple, 3/4 + 1/6 = 9/12 + 2/12 = 11/12. De même, 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.

5. Après un calcul, on simplifie le résultat si c’est possible : on divise son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun supérieur à 1. Par exemple, 6/15 = 2/5 en divisant par 3. On peut aussi simplifier les fractions avant de chercher un dénominateur commun pour alléger les calculs.

Des exemples

• Compare les fractions 7/12 et 5/8.

  On choisit le produit 12 × 8 comme dénominateur commun. La première fraction devient (7 × 8)/(12 × 8) et la seconde devient (5 × 12)/(8 × 12). Les dénominateurs sont égaux : on compare donc les produits 7 × 8 et 5 × 12. On obtient : <.

• Calcule la somme 5/14 + 3/10 et simplifie le résultat si possible.

  Les fractions 5/14 et 3/10 ont des dénominateurs différents. Pour les additionner, on cherche un multiple commun à ces dénominateurs. Chaque fraction est ensuite transformée en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre. Il reste à additionner les nouveaux numérateurs, à conserver le dénominateur commun et à simplifier si possible. On obtient : 23/35.

• Calcule la différence 11/15 − 7/18 et simplifie le résultat si possible.

  On remplace 11/15 et 7/18 par des fractions égales ayant un dénominateur commun. On soustrait ensuite le numérateur de la seconde fraction à celui de la première, sans changer le dénominateur commun. Après simplification éventuelle, on obtient : 31/90.