Effectuer une division par un nombre décimal

Diviser par un nombre décimal permet de calculer un prix à l’unité, de partager une quantité ou de chercher combien de fois une quantité est contenue dans une autre. Pour effectuer ce calcul, on transforme la division en une division équivalente dont le diviseur est entier.

Le cours

1. Dans une division, le dividende est le nombre que l’on divise, le diviseur est le nombre par lequel on divise et le quotient est le résultat. Le diviseur doit être différent de zéro : on ne peut pas diviser par zéro.

2. Le quotient ne change pas lorsqu’on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre non nul. Pour rendre entier un diviseur décimal, on multiplie donc les deux nombres par 10, 100, 1 000… Par exemple, 6,72 ÷ 0,8 = 67,2 ÷ 8 : les deux nombres ont été multipliés par 10.

3. On choisit la puissance de 10 qui permet de rendre le diviseur entier : 10 pour un chiffre après la virgule, 100 pour deux chiffres, 1 000 pour trois chiffres. Multiplier par ces nombres revient à déplacer la virgule vers la droite du même nombre de rangs dans le dividende et dans le diviseur. On ajoute des zéros si nécessaire. Le dividende n’a pas besoin de devenir entier.

4. On effectue ensuite la division par le diviseur entier. Dans une division posée, lorsqu’on abaisse le premier chiffre situé après la virgule du dividende, on place la virgule au quotient. S’il reste un reste après le dernier chiffre du dividende, on peut ajouter des zéros et poursuivre. Si le reste devient nul, on obtient un quotient exact. Pour vérifier ce résultat, on multiplie le quotient par le diviseur de départ : on doit retrouver le dividende de départ.

5. Si l’écriture décimale du quotient ne se termine pas, on donne une valeur approchée à la précision demandée. Pour arrondir au dixième, au centième ou au millième, on calcule au moins un chiffre supplémentaire : si ce chiffre est inférieur à 5, on garde le dernier chiffre conservé ; sinon, on l’augmente de 1, avec une retenue si nécessaire. Par exemple, 5 ÷ 1,4 = 50 ÷ 14 = 3,571428… : l’arrondi au centième est 3,57. On écrit alors 5 ÷ 1,4 ≈ 3,57, et non une égalité.

Des exemples

• Calcule le quotient exact de 8,1 par 0,6.

  Dans 8,1 ÷ 0,6, on déplace les virgules du même nombre de rangs vers la droite pour rendre le diviseur entier, puis on effectue la division obtenue. Le quotient est 27/2. Vérification : 0,6 × 27/2 = 8,1.

• Calcule 7,8 ÷ 0,24 en commençant par rendre le diviseur entier.

  On multiplie 7,8 et 0,24 par la même puissance de dix pour supprimer la partie décimale du diviseur. Le quotient ne change pas : on obtient 65/2. Ce résultat est exact, car 0,24 × 65/2 = 7,8.

• Détermine le quotient exact de 0,85 par 1,25, même si le diviseur est plus grand que le dividende.

  On transforme 0,85 ÷ 1,25 en une division à diviseur entier en multipliant les deux nombres par la même puissance de dix. On ajoute au dividende les zéros nécessaires, puis on calcule. Le quotient exact est 17/25 : on vérifie que 1,25 × 17/25 = 0,85.