Mathématiques · 4e · environ 10 min
Écrire l’égalité de Pythagore dans un triangle rectangle
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un triangle ABC rectangle en B et marque l’angle droit avec un petit carré. Colorie AB et BC, qui bordent cet angle. Le côté restant, AC, est l’hypoténuse : écris AC² = AB² + BC². Tourne ta feuille : même si AC n’est plus en haut ou en biais, l’égalité reste la même.
Le triangle doit être rectangle. Ne choisis pas l’hypoténuse seulement parce qu’un côté paraît plus long sur un dessin.
Découpe un triangle rectangle dans du papier, puis construis un carré à l’extérieur sur chacun de ses côtés. Écris dans chaque carré son aire avec le nom du côté : AB², BC² ou AC². Si l’angle droit est en B, l’aire du carré construit sur AC est égale à la somme des aires des deux autres carrés : AC² = AB² + BC².
Cette manipulation donne du sens aux carrés des longueurs, mais un découpage approximatif ne constitue pas une preuve. L’égalité utilisée concerne un triangle rectangle.
Dans un triangle MNP rectangle en N, cherche le côté dont le nom ne contient pas N : c’est MP, l’hypoténuse. Place MP² seul d’un côté du signe égal, puis additionne les carrés des côtés qui contiennent N : MP² = MN² + NP². Vérifie que chaque côté apparaît une seule fois et que chaque longueur est au carré.
Cette méthode suppose que les trois sommets du triangle sont nommés et que le sommet de l’angle droit est connu. Elle ne permet pas de décider à elle seule si un triangle est rectangle.
Les pièges
Choisir l’hypoténuse selon la position du côté sur la feuille.
Tu t’es appuyé sur l’apparence du dessin. Repère plutôt l’angle droit, puis cherche le côté situé en face.
Oublier de mettre une ou plusieurs longueurs au carré.
Vérifie chaque nom de côté dans ton égalité : chacun doit porter un carré.
Placer un signe moins entre les carrés des deux côtés de l’angle droit tout en laissant l’hypoténuse seule.
Garde l’hypoténuse seule au carré et relie les deux autres carrés par un signe plus.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
L’égalité de Pythagore relie les carrés des longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle. Elle s’écrit à partir de l’angle droit indiqué sur la figure, sans avoir besoin de calculer une longueur.
Le cours
Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l’angle droit sont les côtés de l’angle droit. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est le plus long côté du triangle.
Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si le triangle ABC est rectangle en A, les côtés [AB] et [AC] forment l’angle droit. L’hypoténuse est donc [BC]. D’après le théorème de Pythagore, on écrit : BC² = AB² + AC². La notation AB² se lit « AB au carré » et signifie AB × AB.
Pour écrire cette égalité, repère d’abord le sommet de l’angle droit. Identifie ensuite le côté opposé à ce sommet : sa longueur au carré doit être seule d’un côté du signe égal. De l’autre côté, écris la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit.
On peut aussi écrire AB² + AC² = BC² : inverser les deux membres ne change pas l’égalité. L’ordre des termes de la somme peut également changer. En revanche, il faut toujours garder le carré de l’hypoténuse seul dans un membre. Utilise l’angle droit indiqué, et non l’apparence ou l’orientation du dessin.
Des exemples
Le triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 6 cm et AC = 8 cm. Écris l’égalité de Pythagore avec les noms des côtés, sans calculer de longueur.
L’angle droit est en A : [AB] et [AC] sont les côtés de l’angle droit. Le côté opposé à A est [BC] : c’est l’hypoténuse. L’égalité est donc : BC au carré = AB au carré + AC au carré. Les longueurs données ne sont pas nécessaires pour écrire cette égalité.
Le triangle MNP est rectangle en N. On donne MN = 5 cm et NP = 12 cm. Écris l’égalité de Pythagore avec les noms des côtés, sans calculer de longueur.
Les côtés [MN] et [NP] se rencontrent au sommet N, où se trouve l’angle droit. L’hypoténuse est [MP], le côté opposé à N. On écrit : MP au carré = MN au carré + NP au carré. Même si le triangle est tourné sur la figure, l’hypoténuse reste [MP].
À retenir
- Vérifie que le triangle est rectangle et repère son angle droit.
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
- Carré de l’hypoténuse = somme des carrés des deux autres côtés.
- Chaque longueur de côté est élevée au carré.
- Pour écrire l’égalité, aucun calcul de longueur n’est nécessaire.
Les mots de la leçon
- Triangle rectangle
- Triangle qui possède un angle droit.
- Hypoténuse
- Côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. C’est son plus long côté.
- Carré d’un nombre
- Produit de ce nombre par lui-même. Par exemple, AB² signifie AB × AB.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans le triangle ABC rectangle en B, les côtés AB et BC forment l’angle droit : AC est donc l’hypoténuse. L’égalité de Pythagore s’écrit AC² = AB² + BC² : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Le triangle DEF est rectangle en E. Écris l’égalité de Pythagore, sans calculer de longueur.
- Repère les côtés DE et EF qui forment l’angle droit en E.Le sommet de l’angle droit indique les deux côtés qui se rencontrent à angle droit.
- Identifie DF comme hypoténuse.DF est le côté situé en face de l’angle droit : il ne passe pas par E.
- Écris DF² = DE² + EF².Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Aucun calcul de longueur n’est demandé.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Écrire l’égalité reliant les carrés des trois côtés d’un triangle dont l’angle droit est indiqué, en plaçant correctement l’hypoténuse, sans calculer de longueur.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers