Mathématiques · 4e · environ 15 min
Passer de l’écriture décimale à la notation scientifique
Il aide de savoir :Calculer une puissance à exposant entier positif
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine deux lignes : en haut, le nombre de départ ; en bas, un coefficient compris entre un inclus et dix exclu. Relie-les par une flèche et note combien de multiplications ou de divisions par dix permettent de passer de l’un à l’autre. Pour conserver la valeur du nombre, la puissance de dix doit faire le trajet inverse. Si tu multiplies le nombre par dix plusieurs fois pour obtenir le coefficient, l’exposant est négatif. Si tu le divises par dix plusieurs fois, l’exposant est positif.
Cette méthode concerne ici les nombres décimaux positifs non nuls. Compte les changements de position, pas seulement les zéros visibles.
Cherche deux puissances de dix consécutives qui encadrent le nombre. La plus petite donne l’exposant de sa notation scientifique. Divise ensuite le nombre par cette puissance pour obtenir le coefficient. Vérifie enfin que ce coefficient est au moins égal à un et strictement inférieur à dix. Pour revenir au nombre initial, multiplie le coefficient par la puissance choisie.
Si le nombre est exactement une puissance de dix, prends cette puissance comme borne inférieure : le coefficient vaut alors un. Cette méthode ne s’applique pas à zéro.
Les pièges
Choisir un coefficient supérieur ou égal à dix.
Tes chiffres peuvent être corrects. Vérifie maintenant le coefficient : il doit être compris entre un inclus et dix exclu. Si tu le divises par dix, augmente l’exposant d’une unité pour conserver la valeur.
Inverser le signe de l’exposant.
Regarde d’abord la taille du nombre : s’il est inférieur à un, l’exposant est négatif ; s’il est supérieur ou égal à dix, il est positif. Entre un inclus et dix exclu, l’exposant est nul.
Compter uniquement les zéros écrits.
Repère le premier chiffre non nul, puis compte les multiplications ou divisions par dix qui permettent d’obtenir un coefficient convenable. Vérifie ensuite en faisant le trajet inverse.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
La notation scientifique permet d’écrire de façon courte les très grands nombres et les très petits nombres, par exemple pour exprimer des distances ou des masses. Elle permet aussi de repérer rapidement leur taille et de faciliter certains calculs.
Le cours
La notation scientifique d’un nombre décimal positif non nul est une écriture de la forme a × 10ⁿ, où le coefficient a vérifie 1 ≤ a < 10 et où l’exposant n est un entier positif, négatif ou nul. Le coefficient possède donc exactement un chiffre non nul avant la virgule.
Les puissances de dix indiquent un facteur multiplicatif : 10³ = 1 000, 10⁻³ = 0,001 et 10⁰ = 1. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il indique une puissance de dix comprise entre 0 et 1.
Pour passer de l’écriture décimale à la notation scientifique, place la virgule juste après le premier chiffre non nul pour obtenir le coefficient. Compte les rangs parcourus : si tu as déplacé la virgule vers la gauche, l’exposant est positif ; si tu l’as déplacée vers la droite, il est négatif. Si le nombre est déjà compris entre 1 inclus et 10 exclu, l’exposant est nul.
Pour retrouver l’écriture décimale de a × 10ⁿ, pars du coefficient a. Si n est positif, déplace la virgule de n rangs vers la droite. Si n est négatif, déplace-la vers la gauche du nombre de rangs indiqué par sa valeur sans le signe. Ajoute des zéros si nécessaire. Si n est nul, le nombre reste égal à a.
Vérifie toujours les deux conditions : l’écriture doit représenter le nombre de départ et son coefficient doit être compris entre 1 inclus et 10 exclu. Par exemple, 42 × 10² représente bien un nombre, mais ce n’est pas une notation scientifique, car 42 est trop grand pour être le coefficient.
Des exemples
Écris 683000 en notation scientifique. Le facteur 1/100000 permet de calculer son coefficient.
En multipliant 683000 par 1/100000, on obtient le coefficient 683/100. La virgule a été déplacée vers la gauche : l’exposant est donc positif. Il est égal au nombre de rangs parcourus. La notation scientifique est le produit de 683/100 par la puissance de dix qui compense ce déplacement.
Écris 0,000927 en notation scientifique. Le facteur 10000 permet de calculer son coefficient.
En multipliant 0,000927 par 10000, on obtient le coefficient 927/100. La virgule a été déplacée vers la droite : l’exposant est donc négatif. Sa valeur sans le signe est le nombre de rangs parcourus. La notation scientifique est le produit de 927/100 par la puissance de dix qui compense ce déplacement.
Retrouve l’écriture décimale du produit de 4,18 par la puissance de dix égale à 1000000.
Le facteur 1000000 est une puissance de dix supérieure à l’unité. On déplace donc la virgule de 4,18 vers la droite, d’autant de rangs que l’indique son exposant. On obtient 4,18 × 1000000 = 4180000.
Retrouve l’écriture décimale du produit de 5,36 par la puissance de dix égale à 0,00001.
Le facteur 0,00001 est une puissance de dix inférieure à l’unité : son exposant est négatif. On déplace donc la virgule de 5,36 vers la gauche, en ajoutant les zéros nécessaires. On obtient 5,36 × 0,00001 = 67/1250000.
À retenir
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier.
- Pour trouver le coefficient, place la virgule après le premier chiffre non nul.
- Vers la notation scientifique : déplacement à gauche → exposant positif ; à droite → exposant négatif.
- Vers l’écriture décimale : exposant positif → déplacement à droite ; négatif → déplacement à gauche.
- Un nombre déjà compris entre 1 inclus et 10 exclu s’écrit avec l’exposant 0.
- Vérifie le coefficient et la conservation de la valeur du nombre.
Les mots de la leçon
- Notation scientifique
- Écriture d’un nombre sous la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier.
- Coefficient
- Dans la notation scientifique a × 10ⁿ, nombre a qui multiplie la puissance de dix.
- Exposant
- Dans 10ⁿ, l’entier n est écrit en haut à droite de 10. Son signe et sa valeur déterminent la puissance de dix.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeLa notation scientifique écrit un nombre positif non nul sous la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier. Par exemple, 72 000 = 7,2 × 10⁴ : le coefficient donne les chiffres du nombre et la puissance de dix indique leur position. Dans l’autre sens, multiplier par une puissance de dix permet de retrouver l’écriture décimale.
Écris 0,00058 en notation scientifique, puis explique comment retrouver son écriture décimale.
- Choisis 5,8 comme coefficient.Il conserve les chiffres utiles du nombre et il est compris entre un inclus et dix exclu.
- Compte les changements de position : pour passer du nombre initial au coefficient, les chiffres prennent une valeur dix mille fois plus grande.Il faut donc compenser en multipliant le coefficient par dix puissance moins quatre.
- Écris le coefficient multiplié par dix puissance moins quatre.L’exposant est négatif parce que le nombre initial est inférieur à un.
- Pour revenir à l’écriture décimale, divise le coefficient par dix mille.Multiplier par dix puissance moins quatre revient à diviser par dix mille : tu retrouves ainsi le nombre de départ.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Convertir un nombre décimal positif non nul en notation scientifique et retrouver son écriture décimale.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Avant de commencer
- Calculer une puissance à exposant entier positif
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers