Mathématiques · 4e · environ 10 min

Calculer une puissance à exposant entier positif

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Pour représenter 3⁴, prépare quatre cartes portant chacune le nombre 3. Aligne-les et place un signe × entre deux cartes voisines. Lis le produit obtenu, puis effectue les multiplications. L’exposant compte les cartes, pas les signes ×.

Cette méthode convient aux exposants entiers positifs. Quand l’exposant est grand, dessiner ou déplacer toutes les cartes devient peu pratique.

Les pièges

Multiplier la base par l’exposant.
Tu as multiplié les deux nombres de l’écriture. Repars de la base et répète-la comme facteur autant de fois que l’indique l’exposant.
Compter les signes × au lieu de compter les facteurs.
Entoure chaque facteur identique, puis compte les nombres entourés. C’est ce nombre qui doit correspondre à l’exposant.
Ajouter les facteurs identiques au lieu de les multiplier.
Tu as utilisé une addition. Dans une puissance à exposant entier positif, les copies de la base sont reliées par des signes ×.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Les puissances permettent d’écrire plus simplement un produit de facteurs identiques. On les utilise notamment pour calculer des aires, des volumes ou manipuler de très grands nombres.

Le cours

Pour un nombre a et un entier positif n, la puissance aⁿ est le produit de n facteurs tous égaux à a : aⁿ = a × a × … × a, avec n facteurs. Le nombre a est la base et le nombre n est l’exposant : l’exposant indique combien de fois la base apparaît comme facteur.
Pour calculer une puissance, on écrit le produit correspondant, puis on effectue les multiplications. Attention : aⁿ ne signifie pas a × n. Par exemple, 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 5 × 3.
Lorsque l’exposant vaut 1, la puissance est égale à la base : a¹ = a. Pour tout exposant entier positif n, 0ⁿ = 0 et 1ⁿ = 1. Une puissance d’exposant 2 se lit « au carré » et une puissance d’exposant 3 se lit « au cube ».
Si la base est négative, on l’écrit entre parenthèses pour montrer que le signe moins fait partie de la base. Par exemple, (−4)² = (−4) × (−4) = 16. Une puissance de base négative est positive si l’exposant est pair et négative s’il est impair. Attention : −4² = −(4 × 4) = −16, tandis que (−4)² = 16.
Dans un calcul comportant plusieurs opérations, on calcule les puissances avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions, en respectant d’abord les parenthèses. Par exemple, 2 + 5² = 2 + 25 = 27.

Des exemples

Écris 6^4 sous forme d’un produit de facteurs identiques, puis calcule sa valeur.
La base est 6 et l’exposant est 4. On écrit donc un produit de 4 facteurs égaux à 6 : 6^4 = 6 × 6 × 6 × 6 = 1296.
Écris (-7)^3 sous forme d’un produit de facteurs identiques, puis calcule sa valeur.
Les parenthèses indiquent que la base entière est -7, signe compris. On obtient (-7)^3 = (-7) × (-7) × (-7) = -343. L’exposant 3 est impair : le résultat est négatif.
Calcule 11^1 et explique le rôle de l’exposant.
L’exposant 1 indique que le produit ne comporte qu’un seul facteur, égal à 11. Ainsi, 11^1 = 11 = 11.

À retenir

Une puissance est une écriture abrégée d’un produit de facteurs identiques.
La base est le nombre répété ; l’exposant indique le nombre de facteurs.
Ne confonds pas aⁿ avec a × n.
Pour toute base a, a¹ = a.
Avec une base négative, garde les parenthèses et vérifie si l’exposant est pair ou impair.
Dans un calcul, les puissances sont prioritaires sur les multiplications et les additions.

Les mots de la leçon

Puissance: Expression de la forme aⁿ qui, pour un exposant entier positif n, représente un produit de n facteurs égaux à a.
Base: Nombre qui est répété comme facteur dans une puissance.
Exposant: Nombre écrit en petit en haut à droite de la base. Lorsqu’il est entier positif, il indique le nombre de facteurs égaux à la base.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeDans 5³, le nombre 5 est la base et le nombre 3 est l’exposant : on écrit donc 5 × 5 × 5. Pour calculer la valeur de cette puissance, on effectue les multiplications, sans remplacer le produit par 5 × 3.

Écris 8¹ sans exposant et explique ton choix.

Je repère la base : c’est 8. L’exposant est 1.La base indique le facteur utilisé et l’exposant indique combien de fois ce facteur apparaît.
Je garde la base une seule fois, sans ajouter de multiplication.Avec un exposant égal à un, il n’y a qu’un seul facteur.
La valeur cherchée est donc la base elle-même.Un nombre élevé à la puissance un reste inchangé.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Écrire une puissance à exposant entier positif sous forme d’un produit de facteurs identiques et calculer sa valeur.
Au programme: 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers