Mathématiques · 3e · environ 15 min
Multiplier et diviser des nombres en notation scientifique
Il aide de savoir :Passer de l’écriture décimale à la notation scientifique
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dans (a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ), regroupe a avec b et les puissances entre elles : tu obtiens (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ. Dans (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ), tu obtiens (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ. Par exemple, diviser par 10³ revient à retirer trois facteurs 10 : c’est pour cela que l’exposant diminue de trois. Après le calcul, ajuste le coefficient si nécessaire.
Ces règles sur les exposants concernent des puissances de même base. Elles ne s’appliquent pas à une addition de nombres en notation scientifique.
Imagine deux cases : [coefficient] × [puissance de dix]. Pour remettre le coefficient entre 1 inclus et 10 exclu, trace deux flèches opposées. Exemple : [24] × [10⁻⁷] devient [2,4] × [10⁻⁶] : coefficient ÷ 10, puissance × 10. Dans l’autre sens, [0,32] × [10⁵] devient [3,2] × [10⁴] : coefficient × 10, puissance ÷ 10. Les deux changements se compensent.
Cette méthode sert à ajuster l’écriture après le produit ou le quotient. Elle ne remplace pas le calcul des coefficients et des exposants.
Un stock contient 8 × 10⁶ composants. Chaque paquet contient 2 × 10³ composants. Le nombre de paquets est le quotient du stock par la taille d’un paquet. Avec les coefficients, 8 ÷ 2 donne 4 ; avec les puissances, un million divisé par mille donne mille. On obtient donc 4 × 10³ paquets. Le sens du partage permet aussi de vérifier que l’on a divisé dans le bon ordre.
Pour compter des paquets, les deux quantités doivent être exprimées dans la même unité. Si le quotient n’est pas entier, il faut distinguer les paquets complets d’une éventuelle quantité restante.
Les pièges
Multiplier les exposants dans un produit de puissances de dix.
Dans 10³ × 10², compte les facteurs 10 : il y en a trois, puis deux. Cela explique pourquoi les exposants s’additionnent.
Oublier les parenthèses lorsqu’on soustrait un exposant négatif.
Écris d’abord la soustraction complète : par exemple, 4 − (−3). Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.
Déplacer la virgule sans compenser avec la puissance de dix.
Fais deux changements opposés : si tu divises le coefficient par dix, multiplie la puissance par dix. Vérifie ensuite que le coefficient est compris entre 1 inclus et 10 exclu.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
La notation scientifique permet de calculer plus facilement avec des nombres très grands ou très petits, par exemple des distances astronomiques ou des dimensions microscopiques. Pour multiplier ou diviser ces nombres, on calcule séparément avec les coefficients et avec les puissances de dix.
Le cours
Un nombre positif est écrit en notation scientifique sous la forme a × 10ⁿ, où le coefficient a vérifie 1 ≤ a < 10 et où n est un entier, positif, négatif ou nul. Par exemple, 56 000 = 5,6 × 10⁴ et 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴.
Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, on multiplie leurs coefficients et on additionne les exposants : (a × 10ⁿ) × (b × 10ᵐ) = (a × b) × 10ⁿ⁺ᵐ. Par exemple, (3 × 10⁴) × (2,5 × 10⁻⁶) = 7,5 × 10⁻², car 3 × 2,5 = 7,5 et 4 + (−6) = −2.
Pour diviser deux nombres en notation scientifique, on divise leurs coefficients et on soustrait l’exposant du diviseur à celui du dividende : (a × 10ⁿ) ÷ (b × 10ᵐ) = (a ÷ b) × 10ⁿ⁻ᵐ. Par exemple, (8,4 × 10⁷) ÷ (2,1 × 10³) = 4 × 10⁴. Attention au signe de l’exposant du diviseur : 3 − (−5) = 8.
Après le calcul, il faut vérifier que le coefficient est compris entre 1 inclus et 10 exclu. S’il est supérieur ou égal à 10, on déplace la virgule vers la gauche et on augmente l’exposant d’autant. Par exemple, (6 × 10³) × (4 × 10⁵) = 24 × 10⁸ = 2,4 × 10⁹. Les deux dernières écritures ont la même valeur, mais seule la dernière est en notation scientifique.
Si le coefficient est inférieur à 1, on déplace la virgule vers la droite et on diminue l’exposant d’autant. Par exemple, (2,4 × 10⁻³) ÷ (6 × 10⁵) = 0,4 × 10⁻⁸ = 4 × 10⁻⁹. Dans tous les cas, on termine en vérifiant à la fois le coefficient et le calcul sur les exposants.
Des exemples
Écris 640000 et 7500 en notation scientifique, puis calcule leur produit. Donne le résultat en notation scientifique.
Après avoir écrit 640000 et 7500 en notation scientifique, multiplie leurs coefficients et additionne leurs exposants. Le coefficient obtenu dépasse la limite autorisée : déplace sa virgule vers la gauche et augmente l’exposant d’autant. La valeur du produit est 4800000000 ; vérifie que ton écriture scientifique représente bien cette valeur.
Écris 0,000024 et 0,0000035 en notation scientifique, puis calcule leur produit. Donne le résultat en notation scientifique.
Les écritures scientifiques de 0,000024 et de 0,0000035 ont des exposants négatifs. Multiplie les coefficients et additionne les exposants en conservant leurs signes. Le coefficient obtenu est déjà dans l’intervalle autorisé : aucun ajustement n’est nécessaire. La valeur du produit est 21/250000000000 ; vérifie que ton écriture scientifique représente bien cette valeur.
À retenir
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier.
- Produit : multiplier les coefficients et additionner les exposants.
- Quotient : diviser les coefficients et soustraire les exposants dans le bon ordre.
- Soustraire un exposant négatif revient à ajouter son opposé.
- Virgule déplacée vers la gauche : exposant augmenté ; vers la droite : exposant diminué.
- Toujours vérifier que le résultat final est bien en notation scientifique.
Les mots de la leçon
- Notation scientifique
- Écriture d’un nombre positif sous la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier.
- Coefficient
- Dans l’écriture a × 10ⁿ, le nombre a qui multiplie la puissance de dix.
- Exposant
- Nombre écrit en haut à droite d’une base dans une puissance. Dans 10ⁿ, l’exposant est n.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour multiplier des nombres en notation scientifique, multiplie les coefficients et additionne les exposants : (2 × 10³) × (4 × 10⁻⁵) = 8 × 10⁻². Pour les diviser, divise les coefficients et soustrais les exposants : (6 × 10⁷) ÷ (3 × 10²) = 2 × 10⁵. À la fin, vérifie que le coefficient est supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10.
Calcule (3 × 10⁻²) ÷ (6 × 10⁴) et donne le résultat en notation scientifique.
- Sépare les coefficients et les puissances : (3 ÷ 6) × (10⁻² ÷ 10⁴).Dans un quotient de produits, tu peux regrouper les coefficients et les puissances de dix.
- Calcule les coefficients : 3 ÷ 6 = 0,5.Les coefficients se divisent comme des nombres ordinaires.
- Calcule la puissance : 10⁻² ÷ 10⁴ = 10⁻²⁻⁴ = 10⁻⁶.Pour diviser des puissances de même base, tu soustrais l’exposant du dénominateur à celui du numérateur.
- Réunis les résultats : 0,5 × 10⁻⁶.Tu as calculé le quotient, mais son coefficient est encore inférieur à 1.
- Ajuste l’écriture : 0,5 × 10⁻⁶ = 5 × 10⁻⁷.Le coefficient est multiplié par dix : la puissance doit donc être divisée par dix pour conserver la même valeur. Le coefficient final est bien compris entre 1 inclus et 10 exclu.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Calculer le produit ou le quotient de deux nombres positifs écrits en notation scientifique et donner le résultat en notation scientifique.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Avant de commencer
- Passer de l’écriture décimale à la notation scientifique
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers