Comprendre l’ordre des nombres rationnels relatifs

Comparer des nombres rationnels permet de classer des températures, des altitudes ou des scores, même lorsqu’ils sont négatifs. Pour justifier leur ordre, on peut utiliser leur signe, leur position sur une droite graduée ou les écrire sous une forme commune.

Le cours

1. Un nombre rationnel peut s’écrire comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers, avec un dénominateur non nul. Comparer deux nombres, c’est déterminer si le premier est inférieur, supérieur ou égal au second. On utilise les symboles <, > et =. Sur une droite graduée orientée vers la droite, le plus grand nombre est celui qui est placé le plus à droite.

2. Un nombre strictement négatif est toujours inférieur à zéro et à tout nombre strictement positif. Un nombre strictement positif est toujours supérieur à zéro. Lorsque deux nombres ont des signes contraires, leur signe suffit donc pour les comparer.

3. Pour deux nombres positifs, le plus grand est celui qui est le plus éloigné de zéro. Pour deux nombres négatifs, c’est l’inverse : le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro. Pour comparer des écritures décimales, on peut ajouter des zéros à droite de la partie décimale sans changer les valeurs, puis comparer les chiffres de même rang. Si les deux nombres sont négatifs, on compare leurs distances à zéro et on inverse l’ordre obtenu.

4. Pour comparer des fractions, on commence par les écrire avec des dénominateurs positifs : un signe négatif au dénominateur peut être déplacé au numérateur. On peut ensuite les mettre au même dénominateur positif, en multipliant le numérateur et le dénominateur de chacune par un même nombre non nul. Il suffit alors de comparer les numérateurs, y compris lorsqu’ils sont négatifs. Une écriture décimale exacte peut aussi être transformée en fraction décimale pour obtenir une écriture commune.

5. On peut également comparer deux nombres en calculant le premier moins le second. Si la différence est positive, le premier est supérieur au second ; si elle est négative, le premier est inférieur au second ; si elle est nulle, les deux nombres sont égaux. Pour ranger plusieurs nombres dans l’ordre croissant, on les place du plus petit au plus grand ; dans l’ordre décroissant, du plus grand au plus petit.

Des exemples

• Compare -3,7 et 2,6 en utilisant leur signe.

  -3,7 est négatif et 2,6 est positif : donc -3,7 < 2,6. Sur une droite graduée, -3,7 est à gauche de zéro et 2,6 est à droite. On peut vérifier avec la différence : -3,7 − (2,6) = -63/10, qui est négative.

• Compare les deux nombres négatifs -8,46 et -8,5.

  On peut compléter la partie décimale de -8,5 par un zéro pour comparer les chiffres de même rang. La distance à zéro de -8,46 est plus petite que celle de -8,5. Comme les deux nombres sont négatifs, le plus proche de zéro est le plus grand : -8,46 > -8,5. Vérification : -8,46 − (-8,5) = 1/25, une différence positive.

• Compare les fractions -7/12 et -5/8.

  Les dénominateurs sont positifs. On peut prendre leur produit comme dénominateur commun. Les nouveaux numérateurs sont -7 × 8 et -5 × 12. Or -7 × 8 > -5 × 12 : le premier produit négatif est plus proche de zéro. Donc -7/12 > -5/8.

• Compare 11/15 et 7/10 en utilisant un dénominateur commun.

  On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 10, et ceux de la seconde par 15. Les dénominateurs obtenus sont égaux et positifs. Comme 11 × 10 > 7 × 15, on obtient 11/15 > 7/10.