Mathématiques · 4e · environ 25 min
Comparer, ranger et encadrer des rationnels sous différentes écritures
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine une droite graduée avec zéro, puis place les nombres. Celui qui est le plus à gauche est le plus petit. Pour placer −2,4 et −2,35, partage l’intervalle entre −2,4 et −2,3 en centièmes : −2,35 se trouve à droite de −2,4. Pour encadrer un nombre, repère une graduation de chaque côté ; à une précision demandée, choisis deux graduations consécutives de cette précision.
Un dessin aide à voir l’ordre, mais un placement approximatif ne suffit pas pour départager deux nombres très proches. Confirme alors par un calcul exact.
Pour comparer des fractions, commence par rendre leurs dénominateurs positifs. Mets-les ensuite au même dénominateur : tu compares alors leurs numérateurs. Par exemple, 5/6 = 15/18 et 7/9 = 14/18, donc 5/6 > 7/9. Une écriture décimale peut aussi devenir une fraction : 0,45 = 45/100. Cette méthode évite les arrondis qui pourraient masquer une différence.
On ne compare directement les numérateurs que lorsque les dénominateurs sont identiques et positifs. Comparer seulement les numérateurs ou seulement les dénominateurs ne suffit pas en général.
Commence par séparer les nombres négatifs, zéro et les nombres positifs. Pour chaque groupe, choisis une écriture commune pratique : fractions à même dénominateur, décimaux exacts ou puissances de dix. Par exemple, pour ranger 3,2 × 10⁻³, 0,00315 et 1/250, écris 0,0032, 0,00315 et 0,004 : tu obtiens 0,00315 < 3,2 × 10⁻³ < 1/250. Pour encadrer, choisis ensuite deux bornes qui entourent le nombre et vérifie leur écart : au millième, 0,003 < 0,0032 < 0,004. Si les bornes sont imposées, vérifie séparément que le nombre dépasse la borne basse et reste sous la borne haute.
N’arrondis pas avant de comparer. Pour des nombres positifs en écriture scientifique normalisée, compare d’abord les exposants, puis les coefficients si les exposants sont égaux. Pour des nombres négatifs, pense à inverser l’ordre des distances à zéro.
Les pièges
Comparer les nombres négatifs comme leurs distances à zéro.
Repère zéro sur une droite. Le nombre négatif le plus éloigné de zéro est le plus à gauche, donc le plus petit.
Arrondir les fractions avant de les comparer.
Garde les valeurs exactes. Essaie un dénominateur commun ou une écriture décimale exacte quand elle est possible.
Donner un arrondi à la place d’un encadrement.
Écris une borne de chaque côté du nombre. Vérifie leur ordre et, si une précision est demandée, vérifie que les bornes sont consécutives à cette précision.
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La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Comparer des nombres rationnels permet de savoir lequel est le plus grand, de classer des valeurs ou de situer une mesure entre deux bornes. Selon leur écriture, on choisit la forme décimale, fractionnaire ou scientifique qui rend la comparaison la plus simple.
Le cours
Comparer deux nombres, c’est déterminer si le premier est inférieur (<), supérieur (>) ou égal (=) au second. Sur une droite graduée, le plus grand est celui qui se trouve le plus à droite. Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif ou nul. Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro : −2,4 > −2,7. Pour comparer deux décimaux positifs, on compare leurs parties entières, puis, si nécessaire, leurs dixièmes, leurs centièmes, etc. Ajouter des zéros à droite de la partie décimale ne change pas la valeur : 3,5 = 3,50 > 3,47.
Un nombre rationnel peut s’écrire comme une fraction d’entiers dont le dénominateur est non nul. Pour comparer des fractions, on commence par rendre leurs dénominateurs positifs. Si elles ont le même dénominateur, on compare leurs numérateurs. Sinon, on peut les mettre au même dénominateur ou comparer les produits en croix : pour b > 0 et d > 0, comparer a/b et c/d revient à comparer a × d et c × b. Pour comparer une fraction et un décimal, on peut transformer le décimal en fraction ou calculer la valeur décimale exacte de la fraction lorsqu’elle existe. Attention : un arrondi ne suffit pas toujours pour départager deux nombres proches.
L’écriture scientifique d’un nombre positif non nul est a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier. Pour deux nombres positifs ainsi écrits, on compare d’abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre. Si les exposants sont égaux, on compare les coefficients a. Par exemple, 4,8 × 10³ > 9,1 × 10². Pour des nombres négatifs, on compare leurs distances à zéro, puis on inverse l’ordre : −4,8 × 10³ < −9,1 × 10². On peut aussi passer à l’écriture décimale lorsque cela simplifie la comparaison.
Ranger dans l’ordre croissant signifie écrire les nombres du plus petit au plus grand ; dans l’ordre décroissant, du plus grand au plus petit. Quand les écritures sont différentes, on choisit une écriture commune adaptée, puis on compare les valeurs. Par exemple, −3/2 = −1,5 et 1,4 × 10⁰ = 1,4, donc −3/2 < −1,2 < 1,4 × 10⁰. On conserve de préférence les écritures de départ dans le rangement final et on utilise le signe = lorsque deux écritures désignent le même nombre.
Encadrer un nombre x, c’est trouver une borne inférieure et une borne supérieure entre lesquelles il se situe. Si les bornes sont imposées, on vérifie chacune des deux comparaisons. Pour un encadrement à l’unité, au dixième ou au centième, on utilise généralement deux bornes consécutives espacées de 1, de 0,1 ou de 0,01. Par exemple : 5,3 < 5,347 < 5,4 au dixième, et 5,34 < 5,347 < 5,35 au centième. Pour un nombre négatif, il faut respecter l’ordre : −2,8 < −2,73 < −2,7. Si le nombre est égal à une borne, on utilise ≤ plutôt que < ; ainsi, 5,3 ≤ 5,3 < 5,4. Encadrer n’est pas arrondir : on donne deux bornes, pas une valeur approchée unique.
Des exemples
Compare les fractions -19/12 et -13/8.
Les dénominateurs sont positifs : on peut comparer les produits en croix. On compare donc -19 × 8 et -13 × 12. Ces produits sont négatifs : le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro. On obtient : >.
Écris la puissance 10^-5 sous forme décimale afin de faciliter sa comparaison avec des nombres décimaux.
L’exposant -5 est négatif : cette puissance est l’inverse de la puissance de même base dont l’exposant est l’opposé de -5. On obtient 10^-5 = 1/100000. Cette écriture décimale permet ensuite de comparer directement les chiffres de même rang.
Compare la fraction 47/20 au nombre décimal 238.
On peut calculer le quotient 47 ÷ 20, qui possède ici une écriture décimale exacte, puis le comparer à 238. Une autre méthode consiste à écrire le nombre décimal sous forme de fraction et à comparer les produits en croix. Le calcul donne : <.
À retenir
- Sur une droite graduée, le plus grand nombre est le plus à droite.
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro.
- Pour comparer des fractions, utilise des dénominateurs positifs et un dénominateur commun ou les produits en croix.
- Pour des nombres positifs en écriture scientifique, compare d’abord les exposants, puis les coefficients.
- Pour ranger des écritures différentes, choisis une écriture commune sans remplacer les valeurs exactes par des arrondis.
- Un encadrement donne deux bornes ordonnées ; vérifie les deux inégalités et l’écart demandé.
Les mots de la leçon
- Nombre rationnel
- Nombre qui peut s’écrire comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul.
- Numérateur
- Nombre placé au-dessus de la barre de fraction.
- Dénominateur
- Nombre non nul placé au-dessous de la barre de fraction.
- Écriture scientifique
- Écriture d’un nombre positif non nul sous la forme a × 10ⁿ, où 1 ≤ a < 10 et où n est un entier. Pour un nombre négatif, on place le signe moins devant l’écriture scientifique de son opposé.
- Ordre croissant
- Ordre allant du plus petit nombre au plus grand.
- Ordre décroissant
- Ordre allant du plus grand nombre au plus petit.
- Encadrement
- Deux inégalités qui situent un nombre entre une borne inférieure et une borne supérieure.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour comparer −3/4 et −0,7, tu peux écrire −3/4 = −0,75 : comme −0,75 est plus à gauche sur une droite graduée, −3/4 < −0,7. Encadrer −3/4 au dixième, c’est le placer entre deux dixièmes consécutifs : −0,8 < −3/4 < −0,7.
Range dans l’ordre croissant −3/4, −0,7 et −8 × 10⁻¹, puis encadre −3/4 au dixième.
- Écris les trois nombres en écriture décimale : −3/4 = −0,75 ; −0,7 reste inchangé ; −8 × 10⁻¹ = −0,8.Avec une même écriture, tu peux comparer directement les nombres.
- Compare les distances à zéro : 0,8 > 0,75 > 0,7. Les nombres étant négatifs, leur ordre est inversé.Parmi deux nombres négatifs, le plus éloigné de zéro est le plus petit.
- Écris le rangement : −8 × 10⁻¹ < −3/4 < −0,7.Un rangement croissant va du plus petit au plus grand.
- Les deux dixièmes consécutifs qui entourent −0,75 sont −0,8 et −0,7. Donc −0,8 < −3/4 < −0,7.Un encadrement au dixième utilise deux bornes consécutives espacées de 0,1.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Comparer et ranger des nombres rationnels donnés en écriture décimale, fractionnaire ou scientifique, puis encadrer un nombre entre deux bornes imposées ou à une précision demandée en choisissant une écriture adaptée.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 25 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers