Mathématiques · 4e · environ 15 min
Calculer une expression à plusieurs opérations avec des nombres relatifs
Il aide de savoir :Comparer et ranger des nombres décimaux relatifs
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dans −6 + 3 × (−4 + 2), encadre d’abord (−4 + 2). Relie ce cadre au signe × et au nombre 3 : ils forment le bloc suivant. L’addition avec −6 vient en dernier. À chaque étape, remplace seulement le bloc calculé et recopie tout le reste.
Un cadre aide à voir l’ordre, mais il ne change pas les règles. Si des parenthèses sont emboîtées, commence par celles qui sont le plus à l’intérieur.
Écris chaque nombre et chaque signe sur une petite carte. Pour −6 + 3 × (−4 + 2), rassemble les cartes de la parenthèse et remplace-les par une seule carte portant leur résultat. Fais ensuite de même pour la multiplication. Ne déplace pas les autres cartes : leur ordre et leurs signes restent inchangés.
Garde le signe d’un nombre sur sa carte. Distingue bien le signe moins d’un nombre négatif du signe de soustraction placé entre deux blocs.
Pour vérifier un calcul, compare deux lignes successives. Une ligne correcte remplace un calcul autorisé par son résultat sans modifier le reste. Dans −6 + 3 × (−2), remplacer d’abord −6 + 3 est incorrect : la multiplication est prioritaire. Cherche toujours la première transformation incorrecte, plutôt que de regarder seulement la dernière réponse.
Plusieurs calculs indépendants peuvent être effectués sur la même ligne. Pour commencer, une seule transformation par ligne rend la vérification plus facile.
Les pièges
Effectuer toutes les opérations de gauche à droite.
Ton calcul a commencé trop tôt à gauche. Repère d’abord les parenthèses, puis les multiplications et les divisions. À priorité égale, avance de gauche à droite.
Confondre la règle des signes d’un produit avec celle d’une addition.
Regarde le signe de l’opération avant de choisir ta règle. Pour un produit, compare les signes ; pour une addition, regarde les signes et les distances à zéro.
Enlever une parenthèse précédée d’un moins sans tenir compte de ce moins.
Tu as modifié la quantité soustraite. Tu peux éviter ce piège en calculant d’abord toute la parenthèse, puis en soustrayant son résultat.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Une expression peut contenir plusieurs opérations avec des nombres positifs ou négatifs. Pour trouver sa valeur, il faut respecter l’ordre des calculs et appliquer les règles de signes à chaque étape.
Le cours
On calcule d’abord ce qui est à l’intérieur des parenthèses. Si des parenthèses sont placées dans d’autres parenthèses, on commence par les plus intérieures. À l’intérieur de chaque paire de parenthèses, on respecte aussi les priorités opératoires.
On effectue ensuite les multiplications et les divisions, avant les additions et les soustractions. Lorsque plusieurs multiplications ou divisions se suivent, on les effectue de gauche à droite. On procède de même pour une suite d’additions et de soustractions : une addition ne passe pas avant une soustraction.
Pour additionner deux nombres de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde leur signe commun. Pour additionner deux nombres de signes différents, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : par exemple, soustraire un nombre négatif revient à ajouter un nombre positif.
Pour multiplier ou diviser deux nombres non nuls, on détermine d’abord le signe du résultat : il est positif si les deux nombres ont le même signe, négatif s’ils ont des signes différents. On calcule ensuite avec leurs distances à zéro. Un produit comportant un facteur nul vaut zéro. Une division par zéro est impossible.
Pour organiser le calcul, on réécrit l’expression à chaque étape en remplaçant seulement le calcul effectué par son résultat. On conserve les autres nombres, les signes et les parenthèses encore utiles. Toutes les expressions reliées par le signe = doivent avoir la même valeur. Attention : le signe − peut indiquer un nombre négatif ou une soustraction ; il faut bien distinguer ces deux rôles.
Des exemples
Calcule (-8) × (5 + 5) − (-8) × 5.
On commence par la somme entre parenthèses. On effectue ensuite les deux multiplications, avant la soustraction. Dans chaque produit, les facteurs sont de signes différents : les produits sont donc négatifs. Soustraire le second produit revient à ajouter son opposé. Le premier produit contient deux fois (-8) × 5 ; après avoir retiré une fois ce produit, il reste (-8) × 5. La valeur de l’expression est -40.
Calcule (-18) − (-6) × ((-18) ÷ (-18)).
On commence par la division dans les parenthèses les plus intérieures. Un nombre non nul divisé par lui-même donne l’élément neutre de la multiplication : multiplier par ce résultat ne change pas le nombre. Le produit qui suit vaut donc -6. L’expression devient (-18) − (-6). Comme -6 est négatif, soustraire -6 revient à ajouter son opposé. On obtient -12.
À retenir
- Commencer par les parenthèses les plus intérieures.
- Effectuer les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
- À priorité égale, calculer de gauche à droite.
- Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.
- Pour un produit ou un quotient : mêmes signes, résultat positif ; signes différents, résultat négatif.
- Réécrire les étapes sans perdre les signes ni les parenthèses utiles.
Les mots de la leçon
- Expression numérique
- Écriture composée de nombres, de signes d’opérations et parfois de parenthèses, dont on peut calculer la valeur.
- Priorités opératoires
- Règles qui fixent l’ordre dans lequel effectuer les opérations d’une expression.
- Opposé
- Nombre qui, ajouté au nombre de départ, donne zéro. Deux nombres opposés non nuls ont la même distance à zéro et des signes contraires.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans −6 + 3 × (−4 + 2), commence par le calcul entre parenthèses, puis effectue la multiplication et termine par l’addition. Les signes indiquent comment calculer avec les nombres ; ils ne changent pas l’ordre des opérations.
Calcule A = −6 + 3 × (−4 + 2).
- A = −6 + 3 × (−2)On calcule d’abord à l’intérieur des parenthèses : −4 + 2 = −2.
- A = −6 + (−6)La multiplication passe avant l’addition. Un nombre positif multiplié par un nombre négatif donne un produit négatif.
- A = −12On additionne deux nombres négatifs : on additionne leurs distances à zéro et on conserve le signe moins.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Calculer une expression contenant des nombres relatifs, des parenthèses et plusieurs opérations, en respectant les priorités opératoires.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Avant de commencer
- Comparer et ranger des nombres décimaux relatifs
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers