Mathématiques · 4e · Géométrie
Construire l'image d'une figure par translation
Environ 15 min
Comprendre
Une translation permet de déplacer une figure sans la tourner ni la déformer. Pour construire son image, on reproduit exactement le même déplacement pour chacun de ses points.
Choisis un mouvement, puis fais avancer le calque.
Le cours
Une translation est définie par une direction, un sens et une longueur. Le vecteur →AB représente le déplacement qui envoie A sur B : sa direction est celle de la droite (AB), son sens va de A vers B et sa longueur est AB. On suppose ici que A et B sont distincts.
L’image d’un point M par la translation de vecteur →AB se note M′. Elle vérifie →MM′ = →AB : le déplacement de M vers M′ a la même direction, le même sens et la même longueur que celui de A vers B. Attention : il ne suffit pas de reporter la longueur AB, il faut aussi respecter la direction et le sens.
Sur un quadrillage, repère le déplacement de A vers B en comptant séparément les carreaux horizontalement et verticalement, avec leur sens : vers la droite ou la gauche, puis vers le haut ou le bas. Depuis chaque point de la figure, reproduis ces déplacements à l’identique. Les points d’arrivée sont les images des points de départ.
À la règle et au compas, pour construire M′, trace par M la droite de direction (AB). Si nécessaire, construis une perpendiculaire à (AB), puis une perpendiculaire à cette nouvelle droite passant par M. Sur la droite obtenue, pars de M dans le sens de A vers B et reporte au compas la longueur AB : tu obtiens M′. Si M appartient déjà à (AB), utilise directement cette droite. Lorsque A, B et M ne sont pas alignés, le quadrilatère ABM′M est un parallélogramme.
Pour construire l’image d’un polygone, construis l’image de chacun de ses sommets, puis relie les sommets images dans le même ordre. L’image d’un segment [MN] est le segment [M′N′]. Une translation conserve les longueurs, les angles, l’alignement et le parallélisme : la figure image a donc la même forme et les mêmes dimensions que la figure de départ.
Un exempleDes exemples
Sur un quadrillage dont les colonnes sont numérotées de gauche à droite, le sommet A d’un triangle ABC est dans la colonne 17. Le vecteur de translation indique un déplacement de 8 carreaux vers la droite, sans déplacement vertical. Construis l’image A′B′C′ du triangle et indique la colonne de A′.
Depuis A, avance de 8 carreaux vers la droite en restant sur la même ligne. Le numéro de colonne augmente : on calcule 17 + 8 = 25. A′ est donc dans la colonne 25. Reproduis exactement le même déplacement depuis B et depuis C pour placer B′ et C′, puis trace les segments [A′B′], [B′C′] et [C′A′].
Sur un quadrillage dont les lignes sont numérotées de bas en haut, le sommet P d’un quadrilatère PQRS est sur la ligne 29. Le vecteur de translation indique un déplacement de 11 carreaux vers le bas, sans déplacement horizontal. Construis l’image P′Q′R′S′ du quadrilatère et indique la ligne de P′.
Depuis P, descends de 11 carreaux en restant dans la même colonne. Comme les lignes sont numérotées de bas en haut, leur numéro diminue : on calcule 29 − 11 = 18. P′ est donc sur la ligne 18. Fais descendre Q, R et S de 11 carreaux chacun, puis relie P′, Q′, R′ et S′ dans le même ordre que les sommets de départ.
Démonstration et exemple résolu
RegardeUne translation fait glisser une figure sans la tourner ni la déformer. Si la flèche qui donne le déplacement va vers la droite et vers le haut, chaque sommet se déplace exactement de la même façon : même direction, même sens et même longueur.
Trace un triangle MNP et une flèche allant de A vers B. Construis à la règle et au compas l'image M′N′P′ du triangle par la translation de vecteur AB.
- Observe la flèche AB : sa direction, son sens de A vers B et sa longueur donnent le déplacement à reproduire.Une translation est entièrement déterminée par ce déplacement.
- Par M, construis une droite parallèle à AB. À la règle et au compas, tu peux construire une perpendiculaire à AB passant par M, puis une perpendiculaire à cette nouvelle droite passant par M. Si M appartient déjà à la droite AB, utilise directement cette droite.Le point image M′ doit se trouver dans la même direction de déplacement que celle de la flèche AB.
- Prends au compas la longueur AB. Reporte-la à partir de M sur la droite obtenue, du côté correspondant au sens de A vers B. Tu obtiens M′.Le déplacement de M vers M′ doit avoir la même longueur et le même sens que le déplacement de A vers B.
- Recommence exactement la même construction à partir de N, puis de P, pour obtenir N′ et P′.Tous les sommets doivent subir le même déplacement, et non des déplacements choisis séparément.
- Relie M′, N′ et P′ dans le même ordre que M, N et P.Les segments images forment le triangle demandé. Il a les mêmes longueurs et les mêmes angles que le triangle de départ.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Reproduire la bonne longueur dans le sens opposé.
Comment l'éviter : Compare la flèche donnée à celle qui va du sommet à son image. Leurs pointes doivent indiquer le même sens.
Erreur : Déplacer les sommets de façons différentes.
Comment l'éviter : Repars de chaque sommet avec la même flèche. Sur quadrillage, vérifie le déplacement horizontal et le déplacement vertical pour chacun.
Erreur : Faire tourner la figure ou tracer son reflet.
Comment l'éviter : Garde la figure dans la même position et fais-la seulement glisser. Compare un côté et son image : ils doivent être parallèles et de même longueur.
Voir autrement
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Décompose la flèche donnée en un déplacement horizontal et un déplacement vertical. Repère bien les sens : droite ou gauche, puis haut ou bas. À partir de chaque sommet, reproduis ces mêmes déplacements et marque le point image. Relie ensuite les points images dans le même ordre. Tu peux effectuer le déplacement vertical avant le déplacement horizontal : tu arriveras au même endroit.
Le comptage direct convient lorsque les extrémités de la flèche et les sommets se trouvent sur les nœuds du même quadrillage. Sinon, utilise une construction géométrique ou des mesures adaptées.
Sur un calque, recopie la figure, le point A de départ de la flèche et un petit repère horizontal. Fais glisser le calque pour amener la copie de A sur B, sans faire tourner le repère horizontal. Les sommets déplacés montrent les positions des sommets images. Reporte-les sur la feuille, puis relie-les.
Le calque aide à comprendre et à vérifier le déplacement, mais il ne remplace pas une construction à la règle et au compas lorsqu'elle est demandée. Il ne faut ni tourner ni retourner le calque.
Pour construire l'image d'un sommet M par le vecteur AB, construis par M une parallèle à AB, éventuellement à l'aide de deux constructions successives de perpendiculaires. Ouvre le compas à la longueur AB et reporte cette longueur depuis M sur la parallèle. Parmi les positions possibles, garde celle qui correspond au sens de A vers B. Recommence pour chaque sommet. Tu peux alors justifier ta construction : les déplacements ont la même direction, le même sens et la même longueur que AB.
Cette construction suppose que A et B sont distincts. S'ils sont confondus, le déplacement est nul et chaque point reste à sa place. Si M est sur la droite AB, reporte directement la longueur sur cette droite.
S'entraîner
Je m'entraîne
- Une série en paliersDécouverte, confirmé, expert : corrigée tout de suite
- Calcul mentalUn rituel de 3 à 5 minutes, sans chrono imposé
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
Retenir
À retenir
- Une translation fait glisser une figure sans la tourner ni la déformer.
- Tous les points suivent la même direction, le même sens et la même longueur de déplacement.
- Sur quadrillage, reproduis séparément les déplacements horizontal et vertical.
- À la règle et au compas, respecte la direction et le sens du vecteur, puis reporte sa longueur.
- Construis les images des sommets et relie-les dans le même ordre.
- Vérifie que les longueurs et les angles sont conservés.
Les mots de la leçon
- Translation
- Transformation qui déplace tous les points selon une même direction, un même sens et une même longueur.
- Vecteur
- Objet représenté par une flèche et caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Le vecteur →AB définit le déplacement de A vers B.
- Image d’un point
- Point obtenu après une transformation. L’image de M se note souvent M′, qui se lit « M prime ».
- Direction et sens
- La direction est donnée par une droite. Sur cette direction, le sens précise de quel côté on se déplace : de A vers B ou de B vers A.