Résoudre un problème par une équation à inconnue dans les deux membres

Une équation permet de trouver une quantité inconnue à partir des informations d’un problème. On utilise une équation avec l’inconnue dans les deux membres lorsque deux expressions de cette quantité doivent être égales.

Le cours

1. Commence par choisir l’inconnue : écris précisément ce que représente x et indique son unité si nécessaire. Repère aussi les valeurs possibles dans le problème : une durée ne peut pas être négative et un nombre d’objets doit être entier.

2. Exprime les données en fonction de x, puis traduis la condition du problème par une égalité. Tu peux obtenir une équation de la forme ax + b = cx + d, où a, b, c et d sont des nombres connus. Par exemple, un prix fixe de b euros auquel s’ajoutent a euros par séance s’écrit ax + b pour x séances.

3. Pour résoudre l’équation, effectue la même opération dans les deux membres : tu peux ajouter ou soustraire un même nombre ou une même expression, puis multiplier ou diviser par un même nombre non nul. Le but est de regrouper les termes en x dans un membre et les nombres dans l’autre. Pense à développer et à réduire les expressions si nécessaire.

4. À partir de ax + b = cx + d, soustraire cx puis b dans les deux membres donne (a − c)x = d − b. Si a ≠ c, on divise les deux membres par a − c : x = (d − b)/(a − c). Si les termes en x disparaissent, une égalité fausse signifie qu’il n’y a aucune solution ; une égalité toujours vraie signifie que toutes les valeurs de x conviennent à l’équation.

5. Vérifie la valeur trouvée en remplaçant x dans les deux membres de l’équation de départ. Vérifie ensuite qu’elle est possible dans le contexte : une solution de l’équation n’est pas forcément une réponse acceptable au problème. Termine par une phrase qui répond à la question, avec l’unité adaptée.

Des exemples

• Une salle propose un tarif A composé de 29 € de frais fixes et de 13 € par séance. Le tarif B comprend 64 € de frais fixes et 8 € par séance. Pour quel nombre de séances les tarifs sont-ils égaux ?

  On note x le nombre de séances. Le tarif A coûte 13x + 29 euros et le tarif B coûte 8x + 64 euros. On écrit donc 13x + 29 = 8x + 64. On soustrait 8x puis 29 dans les deux membres : (13 − 8)x = 64 − 29. On divise par 13 − 8 : x = (64 − 29)/(13 − 8) = 7. En remplaçant x par 7, les expressions 13 × 7 + 29 et 8 × 7 + 64 donnent bien le même prix. Le résultat est un entier positif : les tarifs sont donc égaux pour 7 séances.

• Un atelier A possède 46 pièces et en fabrique 7 par jour. Un atelier B possède 14 pièces et en fabrique 11 par jour. Les ateliers commencent leur production au même moment et ne retirent aucune pièce de leur stock. Après combien de jours auront-ils autant de pièces ?

  On note x le nombre de jours écoulés. Les stocks seront de 7x + 46 pièces pour l’atelier A et de 11x + 14 pièces pour l’atelier B. On cherche donc à résoudre 7x + 46 = 11x + 14. Pour garder un coefficient de x positif, on soustrait 7x puis 14 dans les deux membres : 46 − 14 = (11 − 7)x. On obtient x = (46 − 14)/(11 − 7) = 8. Les expressions 7 × 8 + 46 et 11 × 8 + 14 donnent le même stock. Les ateliers auront donc autant de pièces après 8 jours.

• Un service de location A facture 37 € de frais fixes, puis 9 € par heure. Un service B facture 22 € de frais fixes, puis 6 € par heure. Existe-t-il une durée de location pour laquelle les prix sont égaux ?

  On note x la durée de location, en heures. L’égalité des prix se traduit par 9x + 37 = 6x + 22. En soustrayant 6x puis 37 dans les deux membres, on obtient (9 − 6)x = 22 − 37, donc x = (22 − 37)/(9 − 6) = -5. Cette valeur vérifie l’équation, mais elle est négative : elle ne peut pas représenter une durée de location. Il n’existe donc aucune durée possible pour laquelle les prix sont égaux. Cela correspond aussi aux tarifs annoncés : le service A a des frais fixes et un prix par heure plus élevés que ceux du service B.