Mathématiques · 4e · environ 15 min
Résoudre une équation de la forme ax + b = c
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une balance équilibrée pour représenter 2x + 6 = 16. À gauche, dessine deux boîtes identiques de valeur x et six jetons ; à droite, seize jetons. Retire six jetons de chaque côté : les deux boîtes valent ensemble dix jetons. Répartis ensuite ces dix jetons en deux groupes égaux : chaque boîte vaut cinq jetons.
Le dessin avec des objets représente facilement des quantités positives. Pour des coefficients ou des nombres négatifs, garde la règle d’équilibre, mais utilise plutôt les calculs écrits.
Dans ax + b = c, le nombre x est d’abord multiplié par a, puis on ajoute b. Pour retrouver x, pars de c et défais ces actions dans l’ordre inverse : soustrais b, puis divise par a. Tu obtiens x = (c − b) ÷ a. Si b est négatif, soustraire b revient à ajouter son opposé.
Cette méthode s’applique directement lorsque l’équation est de la forme ax + b = c et que a est non nul. Les parenthèses autour de c − b sont indispensables : toute la différence doit être divisée par a.
Pour 4x + 3 = 23, un premier calcul propose x = (23 − 3) ÷ 4, tandis qu’un autre propose x = 23 − 3 ÷ 4. Dans le premier, toute la différence est divisée par 4 ; dans le second, seul 3 est divisé par 4. Remplace ensuite x dans l’équation de départ : seule une valeur qui rend l’égalité vraie peut être une solution.
Vérifier permet de confirmer une valeur proposée ou de repérer une erreur. Cela ne remplace pas toujours la recherche de la valeur inconnue.
Les pièges
Modifier un seul membre de l’équation.
Écris l’opération sous chaque membre : si tu soustrais une quantité à gauche, soustrais exactement la même à droite.
Diviser seulement une partie de la différence.
Calcule d’abord la différence, ou entoure-la de parenthèses avant de diviser.
Oublier le signe du coefficient de x.
Recopie le coefficient avec son signe, puis divise les deux membres par ce nombre complet.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Résoudre une équation permet de retrouver un nombre inconnu à partir d’une égalité. On s’en sert, par exemple, pour retrouver un prix de départ lorsqu’on connaît le prix après une multiplication et un ajout.
Le cours
Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée x. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent cette égalité vraie. Dans une équation de la forme ax + b = c, les nombres a, b et c sont connus, et a est non nul. L’écriture ax signifie a × x.
Pour isoler x, on transforme l’équation en conservant les mêmes solutions. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres. On peut aussi multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Il faut toujours effectuer la même opération des deux côtés de l’égalité.
On commence par soustraire b aux deux membres : ax + b − b = c − b, donc ax = c − b. On divise ensuite les deux membres par a : x = (c − b) / a. Puisque a est non nul, cette division est possible : l’équation possède une unique solution.
Il faut tenir compte des signes. Si le nombre ajouté à ax est négatif, le soustraire revient à ajouter son opposé. Si le coefficient a est négatif, on divise bien par ce nombre négatif. On applique les règles de calcul avec les nombres relatifs et on conserve une valeur exacte, sous forme de fraction si nécessaire.
Pour vérifier la réponse, on remplace x par la valeur trouvée dans l’équation de départ et on calcule le membre de gauche. On doit obtenir le membre de droite. On conclut en indiquant clairement la solution.
Des exemples
Résous l’équation 7x + 9 = 65.
On soustrait 9 aux deux membres : 7x = 65 − 9. Puis on divise les deux membres par 7 : x = (65 − 9) / 7 = 8. Pour vérifier, on calcule 7 × 8 + 9 : on obtient bien 65. La solution est donc 8.
Résous l’équation 6x + (-11) = 31.
Le nombre ajouté à 6x est -11, qui est négatif. On le soustrait aux deux membres, ce qui revient à ajouter son opposé : 6x = 31 − (-11). On divise ensuite par 6 : x = (31 − (-11)) / 6 = 7. La vérification donne 6 × 7 + (-11) = 31. La solution est donc 7.
Résous l’équation -8x + 13 = 33.
On soustrait 13 aux deux membres : -8x = 33 − 13. Le coefficient de x est négatif : on divise les deux membres par -8, en conservant son signe. On obtient x = (33 − 13) / (-8) = -5/2. Pour vérifier, on calcule (-8) × (-5/2) + 13 : le résultat est bien 33. La solution est donc -5/2.
À retenir
- Résoudre une équation, c’est trouver les valeurs qui rendent l’égalité vraie.
- Effectue toujours la même opération sur les deux membres.
- Pour ax + b = c, soustrais b, puis divise par a.
- Si a est non nul, l’unique solution est x = (c − b) / a.
- Respecte les signes et garde une valeur exacte.
- Vérifie en remplaçant x dans l’équation de départ.
Les mots de la leçon
- Inconnue
- Nombre que l’on cherche, représenté par une lettre, souvent x.
- Équation
- Égalité contenant une ou plusieurs inconnues.
- Membre
- Expression située d’un côté du signe égal : on distingue le membre de gauche et le membre de droite.
- Coefficient de x
- Nombre qui multiplie x. Dans ax, le coefficient de x est a.
- Solution d’une équation
- Valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans 3x + 7 = 19, on cherche le nombre qui, multiplié par 3 puis augmenté de 7, donne 19. On enlève 7 aux deux membres, puis on divise les deux membres par 3 : on obtient x = 4. Vérifier consiste à remplacer x par 4 dans l’équation de départ.
Résous l’équation 3x + 7 = 19.
- 3x + 7 − 7 = 19 − 7, donc 3x = 12.On soustrait 7 aux deux membres pour garder l’égalité et laisser le terme contenant x seul.
- 3x ÷ 3 = 12 ÷ 3, donc x = 4.Comme x est multiplié par 3, on divise les deux membres par 3.
- 3 × 4 + 7 = 19.En remplaçant x par 4, on retrouve bien le membre de droite : la solution est vérifiée.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Trouver la valeur de l’inconnue dans une équation de la forme ax + b = c, avec a non nul.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers