Mathématiques · 4e · environ 15 min

Factoriser une somme en repérant un facteur commun

Il aide de savoir :Développer avec la distributivité simple

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Imagine deux rectangles placés côte à côte. Ils ont la même hauteur x, et leurs largeurs sont a et b. Leurs aires sont a × x et b × x. En les réunissant, tu obtiens un grand rectangle de hauteur x et de largeur a + b. La somme des aires s'écrit donc aussi x × (a + b). La hauteur commune devient le facteur placé devant la parenthèse.

Ce dessin représente directement des longueurs positives. La règle de calcul reste valable avec des nombres négatifs, mais les longueurs du dessin ne permettent plus de les représenter directement.

Les pièges

Écrire a × x + b × x = a + b.
Tu as repéré les nombres à additionner. Garde aussi x : écris x × (a + b), puis vérifie en développant.
Écrire a × x + b × x = x × (a × b).
Mettre x en facteur ne change pas l'addition en multiplication à l'intérieur de la parenthèse. Garde a + b.
Écrire a × x + b × x = x × a + b.
Entoure toute la somme a + b avec des parenthèses pour que x multiplie chacun de ses termes.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Factoriser permet de transformer une somme en un produit pour écrire une expression autrement ou faciliter un calcul. On peut le faire lorsque les deux termes de la somme ont un facteur commun.

Le cours

Factoriser une somme, c’est l’écrire sous la forme d’un produit sans changer sa valeur. On utilise la distributivité dans le sens inverse du développement : a × b + a × c = a × (b + c).
Pour repérer un facteur commun, on cherche un même nombre, une même lettre ou une même expression qui multiplie chacun des deux termes. L’ordre des facteurs peut changer : b × a et a × b représentent le même produit.
Pour factoriser, on écrit le facteur commun devant une parenthèse. Dans cette parenthèse, on place la somme des facteurs qui restent dans chaque terme. Ainsi, dans a × b + a × c, on met a en facteur et il reste b + c dans la parenthèse.
Attention : si un terme est exactement égal au facteur commun, il reste un dans la parenthèse, car a = a × 1. Par exemple, a × b + a = a × (b + 1). Le facteur commun n’est pas supprimé : il est écrit une seule fois devant toute la parenthèse.
Pour vérifier une factorisation, on développe le produit obtenu : on doit retrouver la somme de départ. Factoriser et réduire ne sont pas la même action : factoriser donne un produit, tandis que réduire une somme de termes en x donne un seul terme en x.

Des exemples

Factorise la somme 17 × x + 26 × x en repérant le facteur commun.
Chaque terme contient le facteur x. On peut écrire 17 × x + 26 × x = x × (17 + 26). Cette écriture est un produit : la somme est factorisée. Si l’on calcule ensuite la somme dans la parenthèse, l’expression réduite est 43x.
Factorise la somme x × 23 + 38 × x. Attention à l’ordre des facteurs.
Le facteur x apparaît dans les deux termes, même s’il n’est pas écrit à la même place. Comme 38 × x = x × 38, on obtient x × 23 + x × 38 = x × (23 + 38). En développant ce produit, on retrouve bien la somme de départ. Si l’on poursuit le calcul, l’expression réduite est 61x.

À retenir

Factoriser, c’est transformer une somme en un produit de même valeur.
Repère un facteur qui multiplie chacun des deux termes.
Écris ce facteur devant une parenthèse et additionne les facteurs restants à l’intérieur.
La règle est : a × b + a × c = a × (b + c).
Si un terme est égal au facteur commun, il reste un dans la parenthèse.
Vérifie en développant : tu dois retrouver l’expression de départ.

Les mots de la leçon

Terme: Dans une somme, chacune des expressions que l’on additionne.
Facteur: Dans un produit, chacune des expressions que l’on multiplie.
Facteur commun: Facteur présent dans chacun des termes d’une somme.
Factoriser: Transformer une somme en un produit de même valeur.
Distributivité: Propriété qui permet d’écrire a × (b + c) = a × b + a × c. Lue dans l’autre sens, elle permet de factoriser.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeDans a × x + b × x, le facteur x apparaît dans les deux termes. Tu peux l'écrire une seule fois devant une parenthèse : x × (a + b). Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.

Factorise m × t + n × t en repérant le facteur commun.

Repère t dans chacun des deux termes : m × t et n × t.Pour mettre un facteur en commun, il doit multiplier chacun des termes de la somme.
Écris t × (m + n).Après avoir sorti t, il reste m dans le premier terme et n dans le second. Leur addition reste dans la parenthèse.
Vérifie en développant : t × (m + n) = t × m + t × n.Tu retrouves la somme de départ, car l'ordre des facteurs ne change pas un produit.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Transformer une somme de deux termes ayant un facteur commun apparent en un produit.
Au programme: 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers