Mathématiques · 4e · environ 15 min

Développer avec la distributivité simple

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Écris a(bx + c). Trace une flèche de a vers bx, puis une autre de a vers c. Sous chaque flèche, écris le produit correspondant : a × bx et a × c. Relie les produits par un signe plus. Si un terme est négatif, entoure-le avec son signe avant de tracer les flèches.

Ces deux flèches conviennent quand un seul facteur multiplie une parenthèse contenant deux termes. Elles ne suffisent pas pour développer un produit de deux parenthèses.

Les pièges

Ne multiplier que le premier terme de la parenthèse.
Tu as multiplié le premier terme. Reviens au facteur extérieur et relie-le aussi au second terme, puis écris le produit manquant.
Oublier le signe du facteur extérieur ou celui d’un terme intérieur.
Entoure chaque facteur avec son signe. Détermine ensuite le signe de chaque produit avant de multiplier.
Réunir un terme en x et un terme sans x en un seul terme.
Garde séparés le terme en x et le terme sans x. Tu peux seulement regrouper les termes qui ont la même partie en x.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Développer permet de transformer un produit contenant des parenthèses en une somme ou une différence sans parenthèses. On s’en sert pour réécrire une expression littérale, simplifier un calcul ou préparer la résolution d’une équation.

Le cours

La distributivité simple s’écrit : a(b + c) = a × b + a × c. Le facteur placé devant les parenthèses multiplie chacun des termes à l’intérieur, et pas seulement le premier. Cette égalité est vraie quels que soient les nombres utilisés.
Avec une expression littérale, on obtient : a(bx + c) = a × bx + a × c = (ab)x + ac. On calcule donc séparément le produit a × b, qui donne le coefficient de x, et le produit a × c, qui donne le terme sans x. L’écriture (ab)x signifie que le produit de a par b multiplie x.
La distributivité s’applique aussi à une différence : a(bx − c) = a × bx − a × c = (ab)x − ac. On conserve la soustraction entre les produits, puis on simplifie les signes si nécessaire.
Pour calculer chaque produit, on applique la règle des signes : deux facteurs de même signe donnent un produit positif ; deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif. Si le facteur devant les parenthèses est négatif, il faut en tenir compte pour chacun des produits. Ajouter un nombre négatif revient à le soustraire ; soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.
Pour présenter le résultat, on écrit habituellement le terme en x, puis le terme sans x. Ces termes ne peuvent pas être regroupés en un seul terme, car ils ne sont pas de même nature. Développer ne consiste pas à trouver la valeur de x : la lettre reste dans l’expression.

Des exemples

Développe 7(x + 11).
On multiplie chaque terme des parenthèses par 7 : 7 × x + 7 × 11. Le produit 7 × 11 vaut 77. L’expression développée est donc 7x + 77.
Développe 9(14x − 14).
On distribue 9 aux termes des parenthèses : 9 × 14x − 9 × 14. Le produit 9 × 14 vaut 126. L’expression développée est donc 126x − 126. La soustraction a bien été conservée.
Développe (-8) × ((-12)x + (-12)).
On multiplie chaque terme des parenthèses par -8 : (-8) × (-12)x + (-8) × (-12). Les facteurs -8 et -12 sont négatifs : leur produit est positif et vaut 96. L’expression développée est donc 96x + 96.

À retenir

Développer, c’est transformer un produit en une somme ou une différence sans parenthèses.
Le facteur extérieur multiplie chaque terme des parenthèses.
a(bx + c) = (ab)x + ac.
Pour chaque produit, vérifier la règle des signes.
Un terme en x et un terme sans x ne se regroupent pas en un seul terme.

Les mots de la leçon

Développer: Transformer un produit en une somme ou une différence en utilisant la distributivité.
Facteur: Nombre ou expression que l’on multiplie par un autre dans un produit.
Terme: Élément d’une somme. Dans une différence, on peut considérer la soustraction comme l’addition d’un terme négatif.
Coefficient de x: Nombre qui multiplie x dans un terme en x.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeDans a(bx + c), le nombre a multiplie toute la parenthèse : il multiplie donc bx et c. On obtient a × bx + a × c, soit abx + ac, où ab et ac désignent des produits.

Développe −a(bx − c), où a, b et c sont des entiers positifs.

Repère le facteur extérieur : c’est −a, avec son signe.Le signe moins fait partie du nombre qui multiplie toute la parenthèse.
Écris (−a) × bx + (−a) × (−c).Dans la parenthèse, les deux termes sont bx et −c. Chacun est multiplié par −a.
Obtiens −abx + ac.Le premier produit est négatif. Le second est positif, car ses deux facteurs sont négatifs. L’expression est maintenant une somme sans parenthèses.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Transformer une expression de la forme a(bx + c) en une somme sans parenthèses, avec des coefficients entiers relatifs.
Au programme: 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Avant de commencer: Réduire une somme de termes en x
Combien de temps: Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers