Modéliser une situation pour valider ou réfuter une conjecture

Le calcul littéral permet de traduire une situation par une expression et de vérifier si une affirmation est vraie. On l’utilise pour démontrer une conjecture dans tous les cas concernés ou pour trouver un cas qui la contredit.

Le cours

1. Une conjecture est une affirmation que l’on pense vraie, mais qui reste à démontrer. Avant de calculer, précise ce qu’elle affirme et pour quelles valeurs : des nombres entiers, des longueurs positives, des prix, par exemple.

2. Pour modéliser une situation, choisis une lettre et indique ce qu’elle représente. Traduis ensuite les informations par des expressions littérales : une somme pour réunir des quantités, un produit pour répéter une même quantité, une différence pour calculer un écart. Utilise des parenthèses lorsque toute une expression intervient dans un calcul.

3. Pour démontrer une conjecture, pars des expressions obtenues et transforme-les avec les règles du calcul littéral : développer, réduire ou regrouper les termes. Chaque égalité doit être justifiée. Si le résultat établit l’affirmation pour toutes les valeurs autorisées, la conjecture est démontrée.

4. Pour réfuter une conjecture qui prétend être vraie dans tous les cas, un seul contre-exemple suffit. Choisis une valeur autorisée, effectue les calculs et montre que le résultat contredit l’affirmation. Le contre-exemple doit respecter toutes les conditions de la situation.

5. Des essais numériques peuvent aider à comprendre la situation ou à chercher un contre-exemple. Mais même plusieurs essais réussis ne prouvent pas une affirmation générale. Termine toujours par une conclusion : la conjecture est démontrée, elle est réfutée, ou les essais ne permettent pas encore de conclure.

Des exemples

• Un club commande 7 carnets, puis 9 autres carnets au même prix unitaire x. On conjecture que le coût total peut s’écrire comme le prix x multiplié par le nombre total de carnets. Modélise la situation et démontre cette conjecture.

  La lettre x représente le prix d’un carnet, en euros, avec x positif. Les commandes coûtent 7x et 9x. Le coût total est donc 7x + 9x. En mettant x en facteur, on obtient (7 + 9)x, soit 16x. Cette égalité est vraie quel que soit le prix autorisé : la conjecture est démontrée.

• On conjecture que, pour tout rectangle dont les dimensions sont exprimées en centimètres, le nombre donnant le périmètre est supérieur au nombre donnant l’aire. Examine un rectangle de longueur 13 cm et de largeur 8 cm pour réfuter cette conjecture.

  Pour une longueur L et une largeur l positives, le périmètre s’écrit L + l + L + l et l’aire s’écrit L × l. Avec les dimensions proposées, l’aire vaut 104 cm². Le nombre donnant le périmètre est 13 + 8 + 13 + 8 : cette somme est inférieure à 104. L’affirmation est donc fausse pour ce rectangle. Ce contre-exemple suffit à réfuter la conjecture. On compare ici les nombres obtenus dans les unités indiquées, et non directement une longueur et une aire.

• Un programme demande de choisir un nombre, d’ajouter 23, puis d’ajouter 14, et enfin de soustraire le nombre choisi au départ. On conjecture que le résultat ne dépend pas du nombre choisi. Démontre cette conjecture et détermine le résultat.

  On note x le nombre choisi. Le programme donne x + 23 + 14 − x. En regroupant x et son opposé, ils s’annulent : il reste 23 + 14, soit 37. Le résultat ne contient plus x et le calcul est valable pour tout nombre choisi. La conjecture est donc démontrée.