Utiliser une fonction pour résoudre un problème de proportionnalité

Une fonction linéaire permet de décrire une situation de proportionnalité, comme un prix selon une masse ou une distance selon une durée à vitesse constante. Elle sert ensuite à calculer une quantité ou à retrouver la valeur de départ correspondant à un résultat donné.

Le cours

1. Dans une situation de proportionnalité, une grandeur s’obtient en multipliant l’autre par un nombre constant, appelé coefficient de proportionnalité. Si x désigne la valeur de départ et f(x) la valeur correspondante, on écrit f(x) = ax : f est une fonction linéaire et a est le coefficient de proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère.

2. Pour construire le modèle, on précise ce que représentent x et f(x), ainsi que leurs unités. On vérifie que les grandeurs sont proportionnelles : par exemple, un prix est proportionnel à une masse si le prix au kilogramme est constant et qu’aucun frais fixe ne s’ajoute. À partir de deux valeurs correspondantes x et y, avec x non nul, on calcule a = y ÷ x, puis on écrit f(x) = ax.

3. Pour calculer une image, on connaît la valeur de départ x et on cherche la valeur correspondante f(x). On remplace x par la valeur donnée dans l’expression de la fonction, puis on effectue la multiplication : f(x) = a × x.

4. Pour rechercher un antécédent, on connaît le résultat y et on cherche la valeur de départ x. On résout l’équation ax = y. Lorsque a est non nul, on obtient x = y ÷ a.

5. Avant tout calcul, les données doivent être exprimées dans les unités choisies pour le modèle. Après le calcul, on répond par une phrase avec l’unité de la grandeur cherchée, puis on vérifie que la valeur obtenue est cohérente avec la situation.

Des exemples

• Dans une épicerie, le prix du riz est proportionnel à sa masse. Une masse de 6 kg coûte 27,6 €. Détermine la fonction f qui donne le prix en euros d’une masse x de riz exprimée en kilogrammes.

  On cherche une fonction de la forme f(x) = kx, où k est le prix au kilogramme. Les données donnent 6 × k = 27,6. On calcule donc k = 27,6 ÷ 6 = 23/5. Le prix au kilogramme est de 23/5 €/kg et la fonction cherchée est f(x) = 23/5x.

• Une impression coûte 0,18 € par page, sans frais supplémentaires. Le prix de x pages est donné en euros par f(x) = 0,18x. Quel est le prix de 65 pages ?

  On connaît le nombre de pages : on cherche donc son image par f. On remplace x par 65 : f(65) = 0,18 × 65 = 117/10. L’impression de 65 pages coûte 117/10 €.

• Un véhicule roule à la vitesse constante de 72 km/h. La distance parcourue en x heures est donnée en kilomètres par f(x) = 72x. Quelle durée faut-il pour parcourir 126 km ?

  On connaît la distance et on cherche la durée : il faut rechercher l’antécédent de 126 par f. On résout 72x = 126, donc x = 126 ÷ 72 = 7/4. Le trajet dure 7/4 h.