Mathématiques · 3e · environ 10 min
Traduire un programme de calcul en expression de fonction
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine une chaîne de cases reliées par des flèches. Pour « multiplier par 4, puis soustraire 7 », écris : [x] → [4x] → [4x − 7]. Note une seule instruction au-dessus de chaque flèche. L’expression de la dernière case donne l’expression de la fonction.
Chaque case doit conserver tout le résultat précédent. Ne remplace pas la chaîne par une liste d’opérations sans préciser sur quoi elles agissent.
Prépare une carte portant x. Pour « soustraire 2 », ajoute une carte « − 2 » à sa droite. Pour « multiplier le résultat par 5 », entoure les cartes déjà posées avec une paire de parenthèses, puis place « 5 × » devant. Tu lis alors 5 × (x − 2). Les parenthèses servent d’emballage : la nouvelle opération agit sur tout ce qui est dedans.
On emballe le résultat quand l’instruction suivante agit sur son ensemble. Des parenthèses ne doivent pas déplacer une opération ou changer l’ordre du programme.
Pour vérifier une expression, traduis-la en instructions. L’expression 4(x + 3) dit « ajouter 3, puis multiplier le résultat par 4 ». L’expression 4x + 3 dit « multiplier par 4, puis ajouter 3 ». Les mêmes nombres apparaissent, mais les programmes sont différents. Compare cette lecture avec l’énoncé.
Deux écritures différentes peuvent représenter la même fonction : par exemple, une forme avec des parenthèses et sa forme développée. Un seul essai numérique peut révéler une erreur, mais ne suffit pas à prouver que deux expressions sont toujours égales.
Les pièges
Oublier les parenthèses quand une opération porte sur tout le résultat précédent.
Repère les mots « le résultat ». Entoure l’expression déjà obtenue avant d’appliquer la nouvelle opération à son ensemble.
Repartir de x à chaque instruction.
Écris une ligne par instruction. À chaque nouvelle ligne, reprends toute l’expression de la ligne précédente.
Donner seulement un résultat calculé pour un nombre particulier.
Garde x pendant la traduction et termine par une égalité comme f(x) = … . Remplace x par un nombre seulement si on te demande ensuite une image.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Traduire un programme de calcul en expression de fonction permet de décrire, en une seule formule, le résultat obtenu pour n’importe quel nombre de départ autorisé. Cette formule sert ensuite à calculer des images ou à comparer des programmes de calcul.
Le cours
Un programme de calcul donne une suite d’instructions à appliquer à un nombre de départ. Pour écrire l’expression de la fonction correspondante, on remplace ce nombre de départ par une variable, généralement notée x. Le résultat final se note f(x), qui se lit « f de x ».
On suit les instructions dans l’ordre indiqué. Au départ, on écrit x. Après chaque instruction, on écrit la nouvelle expression obtenue à partir du résultat précédent. On ne remplace pas x par un nombre particulier : on cherche une formule valable pour tous les nombres de départ autorisés.
Chaque instruction se traduit par une opération : ajouter une quantité correspond à une addition, retrancher une quantité à une soustraction, multiplier à un produit et diviser à un quotient. Élever au carré signifie multiplier l’expression obtenue par elle-même : le carré de x s’écrit x².
Les parenthèses permettent d’appliquer une opération à tout un résultat intermédiaire. Par exemple, ajouter a puis multiplier le résultat par b donne b(x + a), tandis que multiplier par b puis ajouter a donne bx + a. De même, ajouter a puis élever au carré donne (x + a)², et non x² + a. Sans parenthèses, les puissances sont prioritaires sur les multiplications et les divisions, elles-mêmes prioritaires sur les additions et les soustractions.
À la fin, on écrit f(x) = suivi de l’expression obtenue. On peut simplifier cette expression si cela est utile, mais ce n’est pas obligatoire : une expression avec des parenthèses peut être une réponse correcte. Pour vérifier, on choisit un nombre de départ autorisé et on compare le résultat du programme avec celui de la formule. Si le programme comporte une division, le diviseur ne doit jamais être nul.
Des exemples
Choisir un nombre, lui ajouter 19, puis ajouter 27 au résultat. Écrire l’expression de la fonction f correspondante.
On note x le nombre de départ. Après la première addition, on obtient x + 19. Après la suivante, on obtient x + 19 + 27. Les quantités ajoutées ont pour somme 46 : la fonction s’écrit donc f(x) = x + 46.
Choisir un nombre, lui ajouter 17, puis multiplier le résultat par 13. Écrire l’expression de la fonction g correspondante.
On part de x. Après l’addition, on obtient x + 17. La multiplication porte sur tout ce résultat : il faut donc des parenthèses. On obtient g(x) = 13(x + 17). En développant, le produit de 13 par 17 vaut 221, donc on peut aussi écrire g(x) = 13x + 221.
Choisir un nombre, le multiplier par 14, puis élever le résultat à la puissance 2. Écrire l’expression de la fonction h correspondante.
On part de x, puis on obtient 14x. La puissance porte sur tout ce produit : h(x) = (14x)^2. On peut aussi élever chaque facteur à cette puissance. Comme 14^2 = 196, une autre écriture est h(x) = 196x^2.
À retenir
- Remplacer le nombre de départ par x.
- Traduire les instructions dans leur ordre exact.
- Utiliser des parenthèses lorsqu’une opération porte sur tout un résultat.
- Écrire le résultat final sous la forme f(x) = expression.
- Simplifier seulement si cela est utile, sans changer le résultat.
- Vérifier la formule avec un nombre de départ autorisé.
Les mots de la leçon
- Variable
- Lettre qui représente un nombre pouvant prendre différentes valeurs. Ici, x représente le nombre de départ.
- Expression d’une fonction
- Formule qui indique comment calculer le résultat à partir de la variable.
- Image
- Résultat obtenu en appliquant la fonction à un nombre. L’image de x par la fonction f se note f(x).
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn programme demande de choisir un nombre, de lui ajouter 4, puis de multiplier le résultat par 3. En appelant x le nombre de départ, on obtient successivement x + 4, puis 3(x + 4) : la fonction s’écrit donc f(x) = 3(x + 4). Les parenthèses montrent que la multiplication porte sur tout le résultat précédent.
Choisis un nombre, soustrais 5, puis élève le résultat au carré. Écris l’expression de la fonction h qui représente ce programme.
- On appelle x le nombre de départ.La lettre permet d’écrire un programme valable pour tous les nombres de départ.
- Après la soustraction, on obtient x − 5.On retire 5 au nombre choisi.
- Après la dernière instruction, on obtient (x − 5)².C’est tout le résultat de la soustraction qui est élevé au carré, pas seulement x.
- On écrit h(x) = (x − 5)².h(x) désigne le résultat final du programme lorsque le nombre de départ est x.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Écrire l’expression d’une fonction à partir d’un programme de calcul en remplaçant le nombre de départ par une variable et en respectant l’ordre des opérations.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers