Mathématiques · 3e · environ 15 min

Modéliser une grandeur continue et reconnaître un modèle linéaire

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S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Imagine un graphique : la durée est sur l’axe horizontal et le volume sur l’axe vertical. Avec un récipient vide et un débit constant, les points se placent sur une droite passant par l’origine. Le modèle vaut aussi pour les durées décimales : chacune correspond à un point de cette droite, comme les durées entières. Si le récipient contient déjà de l’eau, la droite démarre au-dessus de l’origine et la fonction n’est pas linéaire.

L’allure d’un dessin permet de proposer un modèle, mais ne prouve pas que le débit est constant. Il faut aussi utiliser les informations de l’énoncé.

Les pièges

Choisir une lettre sans préciser la grandeur ni son unité.
Avant d’écrire la formule, complète : « x représente… en… » et « f(x) représente… en… ».
Appeler linéaire toute fonction dont le graphique est une droite.
Cherche ce qui se passe au départ. S’il reste une quantité fixe quand la variable est nulle, la formule n’est pas de la forme f(x) = ax.
Calculer le coefficient dans le mauvais sens.
Écris les unités de ton calcul. Pour obtenir un tarif en euros par mètre, divise un prix en euros par une longueur en mètres.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Une fonction permet de décrire comment une grandeur dépend d’une autre, par exemple un volume d’eau en fonction du temps. Elle sert à prévoir une valeur et, lorsque les grandeurs sont proportionnelles, à traduire la situation par une fonction linéaire.

Le cours

Une grandeur varie continûment lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle, y compris des valeurs décimales. Pour la modéliser, on choisit une variable, souvent notée x, et on précise ce qu’elle représente, son unité et les valeurs qu’elle peut prendre dans la situation.
On note f(x) la valeur de la grandeur étudiée pour une valeur x de la variable. Modéliser consiste à écrire une formule qui permet de calculer f(x) à partir de x. Cette formule doit respecter les informations de l’énoncé et les conditions de la situation : par exemple, un débit supposé constant ou une durée limitée.
Lorsque la grandeur étudiée est proportionnelle à x, on obtient une fonction linéaire, de la forme f(x) = ax. Le nombre a est le coefficient de proportionnalité. Pour le déterminer à partir de deux valeurs correspondantes, on calcule a = f(x) / x, avec x différent de zéro. Pour calculer ensuite une image, on multiplie la valeur de x par a.
Une fonction linéaire vérifie f(0) = 0 et sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère. Une valeur de départ non nulle ou l’ajout d’un montant fixe empêche la proportionnalité. Attention : vérifier seulement que f(0) = 0 ne suffit pas à prouver qu’une fonction est linéaire ; il faut établir que sa formule est bien de la forme ax.

Des exemples

Un robinet verse de l’eau à un débit constant de 2,4 litres par minute dans une cuve initialement vide. On note x la durée d’écoulement en minutes et f(x) le volume versé en litres. Écris le modèle, puis calcule le volume versé pendant 7,5 minutes, avant que la cuve déborde.
La durée x peut prendre des valeurs décimales positives ou nulles. Le volume versé est proportionnel à la durée, avec pour coefficient 2,4. On obtient f(x) = 2,4 × x. Ainsi, f(7,5) = 2,4 × 7,5 = 18 litres.
Une machine déroule un câble à vitesse constante. Elle déroule 52 mètres en 8 secondes. On note x la durée de fonctionnement en secondes et f(x) la longueur déroulée en mètres depuis le démarrage. Détermine le coefficient de proportionnalité et écris f(x).
La longueur déroulée est proportionnelle à la durée. On cherche donc un coefficient k tel que f(x) = kx. Les données donnent 8 × k = 52, donc k = 52 / 8 = 13/2. Le modèle est f(x) = 13/2 × x, pour les durées pendant lesquelles la machine déroule le câble à cette vitesse.
Un réservoir contient déjà 6,5 litres d’eau. On y ajoute un volume x, exprimé en litres, et on note f(x) le volume total. Écris f(x), indique si le modèle est linéaire, puis calcule le volume total après l’ajout de 9,2 litres, sans débordement.
La variable x représente le volume ajouté, qui peut prendre des valeurs décimales positives ou nulles dans la limite de la capacité du réservoir. Le modèle est f(x) = 6,5 + x. Il n’est pas linéaire : avant tout ajout, le réservoir contient déjà 6,5 litres. Après l’ajout de 9,2 litres, f(9,2) = 6,5 + 9,2 = 157/10 litres.

À retenir

Préciser la variable, son unité et les valeurs possibles.
Écrire une formule qui relie la grandeur étudiée à la variable.
Une proportionnalité se modélise par une fonction linéaire : f(x) = ax.
Pour x non nul, le coefficient se calcule par a = f(x) / x.
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine.
Une valeur de départ non nulle exclut un modèle linéaire.

Les mots de la leçon

Variable: Nombre dont la valeur peut changer et qui représente une grandeur de la situation.
Fonction: Règle qui associe à chaque valeur autorisée de la variable une unique valeur.
Image: Valeur obtenue en appliquant une fonction à un nombre x ; elle se note f(x).
Fonction linéaire: Fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre fixé. Elle modélise une situation de proportionnalité.
Coefficient de proportionnalité: Nombre constant par lequel on multiplie les valeurs d’une grandeur pour obtenir les valeurs correspondantes de l’autre.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeUne pompe remplit un réservoir vide à débit constant : le volume varie continûment, car la durée peut aussi être une fraction de minute. Si tu choisis la durée x comme variable et que la pompe verse a litres par minute, le volume est f(x) = ax : c’est une fonction linéaire.

Une pompe verse 3 litres d’eau par minute dans une cuve vide, sans interruption. Choisis une variable et écris la fonction qui donne le volume d’eau dans la cuve avant qu’elle déborde.

Je choisis x pour désigner la durée de remplissage, en minutes.La durée peut prendre des valeurs décimales : on n’est pas obligé d’attendre une minute entière pour mesurer le volume.
Je note f(x) le volume d’eau dans la cuve, en litres.Je précise ainsi ce que représente la fonction et dans quelle unité se lit son résultat.
J’écris f(x) = 3x.Le volume est égal au débit multiplié par la durée. La cuve est vide au départ : aucun volume initial ne doit être ajouté.
Je reconnais une fonction linéaire, de coefficient 3, valable pour les durées positives ou nulles avant le débordement.La formule est de la forme f(x) = ax. Ici, le coefficient indique le nombre de litres ajoutés par minute.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: À partir d’une situation où une grandeur varie continûment, choisir une variable et exprimer la grandeur étudiée par une fonction ; dans le cas d’une proportionnalité, déterminer le coefficient a et écrire f(x) = ax.
Au programme: 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers