Mathématiques · 3e · environ 10 min
Calculer l’image d’un nombre par une fonction
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Pour f(x) = 2x + 1, dessine ce trajet : nombre de départ → multiplier par 2 → ajouter 1 → image. Place le nombre demandé à l’entrée, puis suis les flèches. Le trajet représente l’ordre des calculs, pas l’ordre dans lequel tu lis les symboles.
Ce trajet convient aux expressions construites comme une suite d’opérations sur un même nombre. Si x apparaît à plusieurs endroits, un trajet unique ne suffit pas toujours.
Pour g(x) = x² − 3x, le nombre de départ doit remplacer les deux x. Si ce nombre est négatif, entoure chaque remplacement de parenthèses : pour −2, écris g(−2) = (−2)² − 3 × (−2). Calcule ensuite les puissances, puis les produits, puis la soustraction.
La méthode s’applique quand l’expression est définie pour le nombre choisi. Si elle contient une division, vérifie notamment que le remplacement ne conduit pas à diviser par zéro.
Un atelier demande 4 € pour l’inscription, puis 3 € par séance. Le prix de x séances est donc p(x) = 4 + 3x. Pour calculer une image, imagine la facture : une seule inscription, puis autant de séances que le nombre demandé. Les deux parties de la facture expliquent les deux termes de l’expression.
Le contexte aide seulement si tu respectes le sens des nombres et les unités. Ici, x représente un nombre entier de séances, pas un prix.
Les pièges
Confondre f(a) avec f × a.
Dans f(a), f est le nom de la fonction et a est le nombre de départ. Cherche l’expression de f, puis remplace x par a.
Remplacer seulement un des x de l’expression.
Repère tous les x avant de calculer. Chacun doit être remplacé par le même nombre de départ.
Oublier les parenthèses autour d’un nombre négatif remplacé dans une puissance.
Recopie d’abord le nombre négatif entre parenthèses à la place de x. Tu pourras ensuite calculer la puissance sans changer le nombre de départ.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Calculer l’image d’un nombre permet de trouver le résultat donné par une fonction pour ce nombre. On s’en sert notamment pour calculer un prix, une distance ou une aire à partir d’une formule.
Le cours
Une fonction associe à chaque nombre pour lequel elle est définie un unique résultat, appelé son image. Si la fonction s’appelle f, l’image du nombre x se note f(x) et se lit « f de x ». Attention : f(x) ne signifie pas f multiplié par x.
L’expression d’une fonction indique le calcul à effectuer. Pour calculer l’image d’un nombre, on remplace chaque occurrence de x par ce nombre, puis on effectue le calcul obtenu. Par exemple, si f(x) = ax + b, alors l’image d’un nombre t se calcule avec f(t) = a × t + b.
On respecte les priorités de calcul : d’abord les parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. Lorsqu’on remplace x par un nombre négatif, on écrit ce nombre entre parenthèses pour conserver correctement son signe, notamment dans une puissance.
On présente le calcul en commençant par la notation de l’image cherchée, puis on écrit les étapes jusqu’au résultat. On conclut par une égalité de la forme f(t) = résultat : le nombre entre parenthèses est le nombre de départ, et le résultat est son image.
Le calcul doit être possible pour le nombre choisi. En particulier, si l’expression contient une division, son dénominateur ne doit pas être nul. Si le remplacement conduit à une division par zéro, le nombre choisi n’a pas d’image par cette fonction.
Des exemples
Soit la fonction f définie par f(x) = 7x. Calculer l’image de -6 par f.
On remplace x par -6. Le coefficient placé devant x indique une multiplication : f(-6) = 7 × (-6) = -42. L’image de -6 par f est donc -42.
Soit la fonction g définie par g(x) = x − 13. Calculer g(8,4).
Calculer g(8,4), c’est chercher l’image de 8,4 par g. On remplace x par 8,4 : g(8,4) = 8,4 − 13 = -23/5.
Soit la fonction h définie par h(x) = x^2. Calculer l’image de -9 par h.
On remplace x par -9 en plaçant le nombre négatif entre parenthèses : h(-9) = (-9)^2 = 81. La puissance porte sur tout le nombre entre parenthèses. L’image de -9 par h est donc 81.
À retenir
- Calculer une image, c’est remplacer la variable par le nombre donné.
- Il faut remplacer toutes les occurrences de la variable.
- Un nombre négatif se remplace en l’écrivant entre parenthèses.
- Les priorités de calcul restent les mêmes.
- Dans f(t) = résultat, t est le nombre de départ et le résultat est son image.
- Une division par zéro est impossible.
Les mots de la leçon
- Fonction
- Une fonction associe à chaque nombre pour lequel elle est définie un unique nombre, appelé son image.
- Image
- Résultat obtenu lorsqu’on applique une fonction à un nombre. L’image de t par la fonction f se note f(t).
- Expression d’une fonction
- Formule qui indique les calculs à effectuer sur le nombre de départ pour obtenir son image.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUne fonction associe un résultat à chaque nombre auquel elle s’applique. Si f(x) = 3x − 4, l’image de 5 se calcule en remplaçant x par 5 : f(5) = 3 × 5 − 4 = 11. On écrit donc f(5) = 11 : 5 est le nombre de départ et 11 est son image.
On définit f par f(x) = 3x − 4. Calcule l’image de 5 et écris le résultat avec la notation f(5).
- Écris f(5) = 3 × 5 − 4.Calculer l’image de 5 revient à remplacer chaque x de l’expression par 5.
- Calcule le produit : f(5) = 15 − 4.La multiplication se fait avant la soustraction.
- Termine : f(5) = 11.Cette égalité indique à la fois le nombre de départ, 5, et son image, 11.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Calculer l’image d’un nombre à partir de l’expression d’une fonction et écrire le résultat avec la notation f(x).
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers