Mathématiques · 3e · environ 15 min
Développer un produit de deux sommes
Il aide de savoir :Factoriser une somme en repérant un facteur commun
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Pour (2x − 3)(4x + 5), trace un tableau avec deux lignes et deux colonnes. Inscris 2x et −3 à gauche des lignes, puis 4x et +5 au-dessus des colonnes. Dans chaque case, multiplie le terme de sa ligne par celui de sa colonne : 8x², 10x, −12x et −15. Additionne ensuite les quatre cases et regroupe les termes en x.
Le tableau organise les produits, mais il faut encore respecter leurs signes et réduire la somme. Avec des termes négatifs, les cases représentent des calculs, pas des aires.
Pour (2x − 3)(4x + 5), prépare quatre cartes portant les produits 2x × 4x, 2x × 5, (−3) × 4x et (−3) × 5. Calcule au dos de chaque carte. Retourne-les, puis rapproche seulement les cartes dont le résultat est un terme en x. Additionne ces termes et recopie les autres sans les mélanger.
Chaque carte doit conserver le signe de ses facteurs. On ne regroupe pas un terme en x avec un terme en x² ou avec un nombre seul.
Appelle provisoirement S la seconde parenthèse. Alors (ax + b)S = ax × S + b × S. Remplace ensuite S par cx + d : ax(cx + d) + b(cx + d). En développant chaque morceau, tu obtiens acx² + adx + bcx + bd, puis acx² + (ad + bc)x + bd.
Cette écriture s’applique aux produits de la forme (ax + b)(cx + d). Les lettres a, b, c et d représentent des nombres avec leur signe : une soustraction doit donc être prise en compte.
Les pièges
Ne calculer que le produit des premiers termes et celui des derniers termes.
Relie chaque terme de la première parenthèse aux deux termes de la seconde. Vérifie que tu as écrit quatre produits avant de réduire.
Perdre le signe négatif d’un terme pendant le développement.
Recopie le terme négatif entre parenthèses dans chacun de ses produits, puis détermine le signe du résultat avant de multiplier.
Regrouper un terme en x² avec un terme en x.
Classe les termes en trois groupes : ceux en x², ceux en x et les nombres seuls. Réduis uniquement à l’intérieur de chaque groupe.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Développer un produit de deux sommes permet de supprimer les parenthèses pour obtenir une expression plus facile à réduire. On s’en sert notamment pour transformer des expressions littérales, comparer des expressions ou résoudre des équations.
Le cours
Développer, c’est transformer un produit en une somme. Pour développer (ax + b)(cx + d), on utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. On obtient ainsi quatre produits : (ax + b)(cx + d) = ax × cx + ax × d + b × cx + b × d.
On calcule chaque produit en respectant les signes : deux facteurs de même signe donnent un produit positif ; deux facteurs de signes différents donnent un produit négatif. Pour les lettres, x × x = x². Ainsi, ax × cx = acx², ax × d = adx et b × cx = bcx.
Après avoir développé, on réduit l’expression en regroupant les termes de même nature : les termes en x² ensemble, les termes en x ensemble et les nombres seuls ensemble. La formule générale est donc : (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd. On ne peut pas regrouper un terme en x² avec un terme en x ou avec un nombre seul.
Exemple avec des coefficients positifs : (2x + 3)(4x + 5) = 2x × 4x + 2x × 5 + 3 × 4x + 3 × 5 = 8x² + 10x + 12x + 15 = 8x² + 22x + 15. Les deux termes en x ont été additionnés ; le terme en x² et le nombre seul restent séparés.
Exemple avec des soustractions : (3x − 4)(2x − 5). On considère les termes avec leur signe : 3x et −4 dans la première parenthèse, 2x et −5 dans la seconde. On obtient 6x² − 15x − 8x + 20, puis 6x² − 23x + 20. Le dernier produit est positif car (−4) × (−5) = 20. Pour éviter les oublis, écris tous les produits avant de réduire.
Des exemples
Pendant un développement, calcule le produit (7x) × (9x).
On multiplie les coefficients : (7) × (9) = 63. On multiplie aussi x par x. Le produit s’écrit donc 63 × x × x : c’est un terme en x au carré de coefficient 63.
Pendant un développement, les nombres seuls à multiplier sont -8 et 11. Calcule leur produit.
Les facteurs -8 et 11 sont de signes différents : leur produit est négatif. On obtient (-8) × (11) = -88. C’est le nombre seul à conserver dans l’expression développée.
Après un développement, les termes en x sont (-13)x et (6)x. Réduis leur somme en un seul terme.
Ces termes ont la même partie littérale : on additionne leurs coefficients et on conserve x. Ainsi, (-13)x + (6)x = -7x.
À retenir
- Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
- Écris les quatre produits avant de réduire.
- Conserve le signe de chaque terme et applique la règle des signes.
- x × x = x².
- Additionne uniquement les termes de même nature.
- (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd.
Les mots de la leçon
- Développer
- Transformer un produit en une somme en utilisant la distributivité.
- Double distributivité
- Règle qui consiste à multiplier chaque terme d’une somme par chaque terme de l’autre somme.
- Réduire
- Regrouper les termes de même nature et effectuer les calculs possibles pour simplifier l’écriture d’une expression.
- Coefficient
- Nombre qui multiplie une partie littérale. Par exemple, dans −7x, le coefficient de x est −7.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans (2x − 3)(4x + 5), chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : on obtient 8x² + 10x − 12x − 15. On rassemble ensuite les termes en x : l’expression développée et réduite est 8x² − 2x − 15.
Développe et réduis (2x − 3)(4x + 5).
- (2x − 3)(4x + 5) = 2x × 4x + 2x × 5 + (−3) × 4x + (−3) × 5Chaque terme de la première parenthèse multiplie les deux termes de la seconde. Cela donne quatre produits.
- = 8x² + 10x − 12x − 15On multiplie les nombres en respectant les signes. Pour le premier produit, x × x = x².
- = 8x² − 2x − 15Les termes 10x et −12x se regroupent. Le terme en x² et le nombre seul restent séparés.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Développer puis réduire une expression de la forme (ax + b)(cx + d), avec des coefficients entiers relatifs.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Avant de commencer
- Factoriser une somme en repérant un facteur commun
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers