Comparer des aires sans les mesurer

Comparer des aires, c’est chercher quelle figure occupe la plus grande surface. Cela sert, par exemple, à comparer des morceaux de papier ou des surfaces à recouvrir, sans calculer leur aire.

Le cours

1. L’aire d’une figure est la grandeur qui décrit la surface qu’elle occupe. Des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire. Pour comparer des aires sans les mesurer, on peut superposer les figures ou découper une figure et déplacer ses morceaux.

2. Pour comparer par superposition, on pose une figure sur l’autre, en les faisant glisser ou tourner si nécessaire, sans les déformer. Si elles se recouvrent exactement, leurs aires sont égales. Si une figure est entièrement contenue dans l’autre et qu’une surface reste découverte, son aire est plus petite. Si chacune dépasse de l’autre, cette superposition ne permet pas de conclure.

3. Pour comparer par découpage et déplacement, on découpe une figure, puis on déplace ou on retourne ses morceaux pour les disposer autrement. Son aire ne change pas si l’on garde tous les morceaux, sans les superposer et sans en ajouter. Si les morceaux recouvrent exactement l’autre figure, les aires sont égales. S’ils tiennent dans l’autre figure en laissant une surface découverte, l’aire de la figure découpée est plus petite.

4. Pour classer plusieurs figures selon leur aire, on les compare, puis on les range de la plus petite aire à la plus grande, ou dans l’ordre inverse demandé. On signale les aires égales. Attention : une figure plus allongée ou dont le contour est plus long n’a pas forcément une aire plus grande.

Des exemples

• Une figure A est découpée en 7 morceaux courbes et 4 morceaux triangulaires. En déplaçant tous ces morceaux, sans les superposer, on recouvre exactement une figure B, sans trou et sans dépassement. Compare les aires de A et de B.

  On a déplacé 7 morceaux courbes et 4 morceaux triangulaires, soit 11 morceaux au total. Aucun morceau n’a été ajouté ou retiré. Comme ils recouvrent exactement B, les figures A et B ont la même aire. Le nombre de morceaux sert seulement à vérifier qu’on les a tous conservés : on n’a pas mesuré les aires.

• La figure B est partagée en 13 morceaux, qui n’ont pas nécessairement la même aire. On pose la figure A sur B : A reste entièrement dans B et recouvre exactement 5 de ces morceaux. Les autres morceaux restent entièrement découverts. Compare les aires de A et de B.

  Il reste 13 − 5 = 8 morceaux découverts dans B. A est entièrement contenue dans B, mais ne la recouvre pas complètement. L’aire de A est donc plus petite que l’aire de B. On ne mesure pas la surface découverte : on constate simplement qu’elle existe.