Mathématiques · CM2 · environ 25 min
Compléter un assemblage de cubes et calculer les cubes manquants
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine une grille pour chaque couche, comme si tu regardais le pavé par-dessus. Chaque case représente une place pour un cube. Colorie les cases occupées en suivant la description, y compris pour les couches cachées. Compte les cases coloriées pour connaître les cubes présents, puis les cases vides pour connaître les cubes manquants.
La description doit préciser les dimensions du pavé et le contenu de chaque couche. Un dessin vu de l'extérieur ne suffit pas toujours pour savoir ce qui est caché.
Avec de petits cubes, construis l'assemblage décrit, couche après couche. Compte les cubes utilisés avant de les recouvrir. Ajoute ensuite des cubes d'une autre couleur jusqu'à obtenir le pavé demandé. Les cubes de départ donnent le nombre de cubes présents ; les cubes de l'autre couleur donnent le nombre de cubes ajoutés.
Les cubes doivent tous avoir la même taille. Respecte les dimensions demandées : il ne faut ni laisser de trou à l'intérieur ni ajouter de cubes à l'extérieur du pavé.
Repère les parties déjà complètes : elles n'ont besoin d'aucun cube supplémentaire. Cherche les places vides dans les autres parties. Si plusieurs couches ont exactement les mêmes trous, compte les trous d'une couche, puis multiplie par le nombre de couches concernées. Pour vérifier, le nombre de cubes présents ajouté au nombre de cubes manquants doit donner la capacité du pavé.
Tu peux multiplier seulement si les couches concernées ont le même nombre de places vides. Sinon, compte les places vides de chaque couche séparément, puis additionne.
Les pièges
Compter seulement les cubes visibles.
Tu as compté ce que tu vois. Reprends maintenant la description couche par couche pour ajouter les cubes cachés.
Confondre les cubes présents et les cubes à ajouter.
Nomme d'abord les quantités : capacité du pavé, cubes présents, cubes manquants. Pour trouver ce qui manque, retire les cubes présents de la capacité.
Multiplier le nombre de cubes d'une couche incomplète par le nombre total de couches.
Vérifie la description de chaque couche. Multiplie seulement lorsque les couches contiennent le même nombre de cubes ; sinon, additionne leurs contenus.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Compter les cubes d’un assemblage permet de savoir combien il en contient, même lorsque certains sont cachés. On peut ensuite trouver combien de cubes ajouter pour obtenir un pavé droit complet.
Le cours
Tous les petits cubes ont la même taille. Pour les compter sans en oublier ni en compter plusieurs fois, on décompose l’assemblage en couches horizontales, du bas vers le haut. Une couche est un étage de cubes.
On compte les cubes de chaque couche en suivant les indications de l’énoncé, puis on additionne ces nombres. Les cubes cachés comptent aussi : on ne compte donc pas seulement les cubes visibles sur le dessin. Attention, un espace vide ne contient pas de cube ; on ne suppose pas qu’il est rempli si aucune indication ne le précise.
Pour connaître le nombre de cubes d’un pavé droit complet, on multiplie sa longueur par sa largeur, puis par sa hauteur, toutes exprimées en nombres de cubes. Le produit longueur × largeur donne le nombre de cubes d’une couche complète. En multipliant ce nombre par la hauteur, on compte toutes les couches.
Pour compléter l’assemblage, on vérifie qu’il tient dans le pavé demandé, puis on calcule : nombre de cubes à ajouter = nombre de cubes du pavé complet − nombre de cubes déjà présents. Pour vérifier, on additionne les cubes présents et les cubes à ajouter : on doit retrouver le nombre de cubes du pavé complet.
Des exemples
On veut compléter un assemblage pour former un pavé droit. Une couche complète comporte 7 cubes dans la longueur et 5 cubes dans la largeur. Combien de cubes contient cette couche complète ?
On compte les rangées de cubes de la couche complète : 7 × 5 = 35. Chaque couche complète du pavé contiendra donc 35 cubes.
L’assemblage à compléter possède une couche du bas de 35 cubes et une couche au-dessus de 23 cubes. Il ne contient aucun autre cube. Les cubes cachés sont compris dans ces nombres. Combien de cubes sont déjà présents ?
On additionne les cubes de toutes les couches, y compris ceux qui sont cachés : 35 + 23 = 58. L’assemblage contient donc 58 cubes.
Le pavé droit à obtenir doit avoir 35 cubes par couche complète et une hauteur de 4 cubes. Combien de cubes contiendra-t-il lorsqu’il sera complet ?
Une hauteur de 4 cubes correspond à 4 couches complètes. On calcule donc 35 × 4 = 140. Le pavé complet contiendra 140 cubes.
Le pavé droit complet doit contenir 140 cubes. L’assemblage, qui tient dans ce pavé, contient déjà 58 cubes, en comptant les cubes cachés. Combien de cubes faut-il ajouter ?
On retire du total attendu les cubes déjà présents : 140 − 58 = 82. Il faut ajouter 82 cubes. On vérifie : 58 + 82 = 140.
À retenir
- Compter les cubes couche par couche, sans oublier les cubes cachés.
- Additionner les cubes de toutes les couches pour trouver le nombre de cubes présents.
- Pavé complet : longueur × largeur × hauteur, en nombres de cubes.
- Cubes à ajouter = cubes du pavé complet − cubes présents.
- Vérifier : cubes présents + cubes ajoutés = cubes du pavé complet.
Les mots de la leçon
- Cube
- Solide dont toutes les faces sont des carrés de même taille.
- Pavé droit
- Solide dont toutes les faces sont des rectangles. Avec des petits cubes identiques, on le construit en couches rectangulaires complètes de même taille.
- Assemblage de cubes
- Construction formée de cubes placés les uns contre les autres ou empilés.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn pavé de 4 cubes de long, 3 cubes de large et 2 couches peut contenir 4 × 3 × 2 cubes. Pour compléter un assemblage, compte tous les cubes déjà présents, même ceux qui sont cachés, puis retire ce nombre de la capacité du pavé.
Tu veux former un pavé de 4 cubes de long, 3 cubes de large et 2 couches de haut. La couche du bas est complète. La couche du haut contient 7 cubes. Combien de cubes sont déjà présents et combien faut-il en ajouter ?
- Compte les cubes de la couche du bas : 4 × 3.Cette couche est complète : chaque rangée contient 4 cubes et il y a 3 rangées. Les cubes cachés sous la couche du haut sont compris.
- Compte tous les cubes présents avec le calcul (4 × 3) + 7.Tu réunis les cubes de la couche du bas et ceux de la couche du haut.
- Calcule la capacité du pavé avec 4 × 3 × 2.Le pavé terminé comporte 2 couches complètes de même taille.
- Le nombre de cubes à ajouter est donné par (4 × 3 × 2) − ((4 × 3) + 7). Tu peux aussi calculer directement (4 × 3) − 7.Seule la couche du haut est incomplète. Les emplacements qui y sont encore vides correspondent exactement aux cubes à ajouter.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- À partir d’un assemblage dont les couches sont précisées, déterminer le nombre de cubes présents, y compris cachés, puis calculer le nombre de cubes à ajouter pour former un pavé de dimensions données en nombres de cubes.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 25 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers