Mathématiques · CM2 · environ 15 min
Trouver des multiples communs à deux nombres
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Trace deux lignes graduées identiques, l'une sous l'autre. Sur la première, marque les nombres atteints en avançant toujours de quatre ; sur la seconde, ceux atteints en avançant toujours de six. Les marques placées exactement l'une au-dessus de l'autre correspondent aux multiples communs. Continue jusqu'à trouver un trio de rencontres après le départ.
Les graduations doivent avoir le même espacement et les lignes doivent commencer au même endroit. Ne compte pas le départ : on cherche des multiples communs non nuls.
Prends des jetons. Cherche une quantité que tu peux ranger en paquets complets de quatre. Mélange ensuite exactement les mêmes jetons et essaie de les ranger en paquets complets de six. Si aucun jeton ne reste dans les deux rangements, la quantité convient. Cherche ensuite d'autres quantités qui passent les deux essais.
Tu dois garder exactement la même quantité de jetons entre les deux rangements. Une réserve vide ne convient pas à la recherche de multiples communs non nuls.
Multiplie les deux nombres : le produit est forcément un multiple de chacun. Il correspond à des paquets du premier nombre et aussi à des paquets du second. Tu peux ensuite doubler puis tripler cette quantité pour obtenir trois multiples communs non nuls. Vérifie-les dans les listes.
Cette méthode fonctionne pour les entiers de un à quatorze. Le produit donne un multiple commun, mais pas forcément le plus petit.
Les pièges
Choisir un nombre présent dans une seule liste.
Retrouve ce nombre dans chacune des listes. S'il manque dans une liste, ne le garde pas parmi les multiples communs.
Confondre un diviseur avec un multiple.
Repars du nombre donné et ajoute-le encore et encore. Les quantités obtenues sont ses multiples.
S'arrêter au produit des deux nombres en pensant qu'il est le seul multiple commun.
Garde cette rencontre, puis double et triple la quantité trouvée. Vérifie que ces nouvelles quantités appartiennent aussi aux deux listes.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Trouver des multiples communs permet de repérer des quantités que l’on peut partager en groupes de tailles différentes, sans reste. Cela sert aussi à chercher quand des événements qui se répètent se produiront à nouveau ensemble.
Le cours
Un multiple d’un nombre entier est un résultat de la multiplication de ce nombre par un entier. Par exemple, les multiples de 4 sont 0, 4, 8, 12, 16… Pour écrire leur liste dans l’ordre, on part de 0 et on ajoute toujours 4.
Un multiple commun à deux nombres apparaît dans la liste des multiples de chacun de ces nombres. Pour en trouver, écris les deux listes dans l’ordre croissant, puis repère les nombres présents dans les deux listes. Ici, on cherche des multiples communs non nuls : on ne retient donc pas 0.
Par exemple, cherchons trois multiples communs à 4 et à 6. Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36. Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36. Les nombres 12, 24 et 36 apparaissent dans les deux listes : ce sont trois multiples communs non nuls à 4 et à 6.
Si tu n’as pas encore trouvé assez de nombres communs, prolonge les listes : un nombre absent du début d’une liste peut apparaître plus loin. Pour vérifier un nombre retenu, assure-toi qu’il figure bien dans les deux tables de multiplication.
Le produit des deux nombres est toujours un multiple commun. En ajoutant ce produit à lui-même, puis en continuant de l’ajouter, tu obtiens d’autres multiples communs. Cette façon de faire donne des multiples communs, mais pas forcément les plus petits.
Des exemples
Cherche des multiples communs non nuls à 7 et à 9 en commençant par calculer leur produit.
7 × 9 = 63. Ce résultat est un multiple de 7 et aussi un multiple de 9. Tu peux donc retenir 63, puis 63 + 63, puis 63 + 63 + 63. Chacune de ces quantités peut être obtenue avec des groupes de 7 comme avec des groupes de 9.
Trouve des multiples communs non nuls à 8 et à 11. Utilise leur produit pour savoir jusqu’où prolonger les listes.
8 × 11 = 88. Écris les multiples de 8 en ajoutant toujours 8, et ceux de 11 en ajoutant toujours 11. En poursuivant les listes jusqu’à 88, tu rencontreras forcément ce nombre dans chacune. Pour obtenir d’autres multiples communs, tu peux continuer les listes jusqu’à 88 + 88, puis jusqu’à 88 + 88 + 88.
À retenir
- Pour écrire les multiples d’un nombre, ajoute toujours ce nombre.
- Un multiple commun apparaît dans les deux listes.
- Pour chercher des multiples communs non nuls, ne retiens pas 0.
- Prolonge les listes jusqu’à avoir trouvé au moins trois nombres communs.
- Le produit des deux nombres est toujours un multiple commun.
Les mots de la leçon
- Multiple
- Nombre obtenu en multipliant un nombre donné par un entier. Par exemple, 20 est un multiple de 4, car 4 × 5 = 20.
- Multiple commun
- Nombre qui est un multiple de chacun des nombres donnés.
- Non nul
- Qui n’est pas égal à zéro.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn multiple de quatre correspond à une quantité que tu peux former avec des paquets complets de quatre objets. Si cette même quantité peut aussi former des paquets complets de six objets, elle est un multiple commun de quatre et de six.
Écris des listes de multiples de quatre et de six, puis repère un trio de multiples communs non nuls.
- Commence les listes : quatre × un, quatre × deux, quatre × trois… et six × un, six × deux, six × trois…Multiplier un nombre par des entiers permet de fabriquer ses multiples.
- Repère cette égalité : quatre × trois = six × deux.Les deux produits représentent la même quantité : elle appartient donc aux deux listes.
- Poursuis les listes et repère aussi quatre × six = six × quatre, puis quatre × neuf = six × six.Ces égalités donnent d'autres quantités présentes dans les deux listes.
- Garde les quantités représentées par quatre × trois, quatre × six et quatre × neuf.Elles sont différentes, non nulles et chacune peut s'écrire comme un multiple de chacun des deux nombres.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Écrire des listes de multiples de deux entiers compris entre 1 et 14, puis repérer au moins trois multiples communs non nuls.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers