Poursuivre une division d’entiers après la virgule

Une division ne s'arrête pas toujours au partage des unités : on peut la poursuivre après la virgule pour obtenir un résultat exact. Cela sert, par exemple, à partager une longueur ou une somme d'argent en parts égales.

Le cours

1. Dans une division, le dividende est le nombre à partager, le diviseur indique en combien de parts on le partage et le quotient est le résultat. Pour obtenir un quotient décimal exact, on commence par poser et calculer la division des entiers, en partageant les chiffres du dividende de gauche à droite.

2. Quand tous les chiffres du dividende ont été utilisés, si le reste est nul, la division est terminée. Si le reste n'est pas nul, on écrit une virgule au quotient, juste après le chiffre des unités, puis on poursuit le partage. On peut le faire sans changer le dividende : par exemple, 37 = 37,0 = 37,00.

3. Pour continuer, on ajoute un zéro à droite du reste : les unités restantes sont alors transformées en dixièmes. On divise ce nouveau nombre par le diviseur, on écrit le chiffre obtenu au rang des dixièmes du quotient, puis on multiplie et on soustrait comme dans la partie entière.

4. Si le reste n'est toujours pas nul, on ajoute encore un zéro à sa droite et on continue avec les centièmes, puis les millièmes si nécessaire. On écrit un chiffre au quotient à chaque étape, même si ce chiffre est zéro. On s'arrête dès que le reste est nul : le quotient décimal est alors exact. Certaines divisions ne se terminent pas ; ici, on travaille avec celles qui donnent un quotient décimal exact.

5. Par exemple, pour calculer 37 ÷ 4, on obtient d'abord 9 unités et il reste 1 unité. On écrit la virgule après 9. L'unité restante devient 10 dixièmes : 10 ÷ 4 donne 2 dixièmes et il reste 2 dixièmes. Ces 2 dixièmes deviennent 20 centièmes : 20 ÷ 4 donne 5 centièmes et le reste est nul. Donc 37 ÷ 4 = 9,25. Pour vérifier, on multiplie le quotient par le diviseur : 9,25 × 4 = 37.

Des exemples

• Pose et calcule 43 ÷ 2, en poursuivant la division après la virgule jusqu'à obtenir un reste nul.

  Commence par la division entière de 43 par 2. Une fois les unités partagées, il reste une partie à partager. Écris la virgule au quotient et ajoute un zéro à droite du reste pour passer aux dixièmes. Divise le nombre obtenu par 2, écris le chiffre des dixièmes au quotient, puis effectue la soustraction. Le reste est maintenant nul : le quotient est exact. Vérifie en multipliant ton quotient par 2 : tu dois retrouver 43.

• Pose et calcule 57 ÷ 4. Poursuis après la virgule aussi longtemps que nécessaire pour obtenir le quotient décimal exact.

  Effectue d'abord la division entière de 57 par 4. Le reste n'est pas nul : place la virgule au quotient et ajoute un zéro à droite du reste. Poursuis le partage pour trouver le chiffre des dixièmes. Comme il reste encore une partie à partager, ajoute de nouveau un zéro à droite du reste et cherche le chiffre des centièmes. Après la soustraction, le reste est nul : arrête le calcul. La multiplication de ton quotient par 4 doit redonner 57.