Comparer les aires de figures planes

Comparer des aires sert à savoir quelle figure occupe le plus de place sur une surface. On peut ainsi comparer des morceaux de papier ou choisir la forme qui couvrira le mieux une partie d’une affiche.

Le cours

1. L’aire d’une figure est la mesure de la surface qu’elle occupe. Comparer des aires, c’est chercher quelle figure occupe le moins de place, laquelle en occupe le plus, ou si elles occupent autant de place. Attention : le périmètre mesure la longueur du contour, pas l’aire. Un contour plus long ne signifie pas forcément une aire plus grande.

2. Pour comparer par superposition, on pose une figure sur l’autre. On peut les déplacer ou les tourner, mais pas les étirer. Si elles se recouvrent exactement, leurs aires sont égales. Si une figure est entièrement contenue dans l’autre et que de la surface reste découverte, son aire est plus petite. Si chaque figure dépasse de l’autre, la superposition ne suffit pas pour conclure.

3. On peut aussi découper une figure et déplacer ses morceaux pour recouvrir une autre figure. Le découpage et le déplacement ne changent pas l’aire : il faut conserver tous les morceaux, sans les superposer. Si les morceaux recouvrent exactement l’autre figure, sans trou ni dépassement, les aires sont égales.

4. Pour comparer par pavage, on recouvre les figures avec des carreaux tous identiques, sans trou ni chevauchement. On utilise les mêmes carreaux pour toutes les figures. Celle qui contient le plus de carreaux a la plus grande aire. Des morceaux de carreaux peuvent être réunis pour former des carreaux entiers.

5. Pour classer plusieurs figures par aire croissante, on les range de la plus petite aire à la plus grande. Pour un classement par aire décroissante, on fait l’inverse. On peut utiliser la superposition, le découpage ou un pavage commun, et placer ensemble les figures dont les aires sont égales.

Des exemples

• Une figure A est entièrement contenue dans une figure B quand on les superpose. Avec un même pavage, A contient 22 carreaux et B contient 31 carreaux. Compare leurs aires et trouve combien de carreaux correspondent à la surface supplémentaire de B.

  A est entièrement recouverte par B, mais une partie de B reste découverte : l’aire de A est donc plus petite que celle de B. La différence est de 31 − 22 = 9 carreaux.

• Une figure A est découpée en morceaux qui couvrent respectivement 14 et 19 carreaux identiques. Tous ces morceaux sont déplacés pour former une figure B, sans trou ni chevauchement. Compare les aires de A et de B.

  On a seulement déplacé les morceaux : aucune surface n’a été ajoutée ni retirée. A et B ont donc la même aire, même si leurs formes sont différentes. Chaque figure couvre au total 14 + 19 = 33 carreaux.

• Avec des carreaux tous identiques, une figure A couvre 18 carreaux et une figure B couvre 27 carreaux. Une figure C est formée en réunissant une copie de A et une copie de B, sans chevauchement. Classe les figures par aire croissante.

  La figure C couvre 18 + 27 = 45 carreaux. Comme 18 < 27 < 45, le classement par aire croissante est : A, puis B, puis C.