Comparer des fréquences observées à une probabilité

Quand on répète un lancer de pièce ou un tirage au hasard, les résultats obtenus ne correspondent pas toujours exactement à ce qu’on avait prévu. Calculer une fréquence permet de comparer ce qui s’est réellement passé à la probabilité de l’évènement.

Le cours

1. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat. Un évènement est un résultat ou un ensemble de résultats qui nous intéresse, comme « obtenir pile » en lançant une pièce.

2. La probabilité d’un évènement décrit ses chances de se produire avant de réaliser l’expérience. Lorsque tous les résultats possibles ont la même chance de se produire, on calcule : probabilité = nombre de résultats favorables ÷ nombre total de résultats possibles. Par exemple, pour une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir pile est la moitié.

3. Pour étudier les résultats observés, on répète la même expérience dans les mêmes conditions et on compte combien de fois l’évènement se produit. Lors de tirages dans un sac, on remet l’objet tiré dans le sac et on mélange avant chaque nouveau tirage afin de conserver les mêmes chances.

4. La fréquence observée se calcule après l’expérience : fréquence = nombre de fois où l’évènement s’est produit ÷ nombre total de répétitions. Elle peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Comme une probabilité, elle est comprise entre zéro et un, soit entre zéro pour cent et cent pour cent.

5. Pour comparer une fréquence à une probabilité, on les écrit sous une forme qui permet de les comparer facilement, par exemple avec le même dénominateur. La fréquence peut être inférieure, supérieure ou égale à la probabilité : une différence n’est pas forcément une erreur. Quand le nombre de répétitions devient très grand, la fréquence a tendance à se rapprocher de la probabilité, mais ce rapprochement n’est pas régulier et l’égalité n’est jamais obligatoire.

Des exemples

• On lance une pièce équilibrée 40 fois et on obtient pile 19 fois. La probabilité d’obtenir pile est 1/2. Compare la fréquence observée à cette probabilité.

  La fréquence observée est 19/40, car on a obtenu pile 19 fois sur 40 lancers. On la compare à la probabilité 1/2. La comparaison donne : <. La fréquence est inférieure à la probabilité. Cela peut arriver même si la pièce est équilibrée.

• Un dé équilibré possède 6 faces, dont 1 porte une étoile. On le lance 90 fois et l’étoile apparaît 17 fois. Compare la fréquence d’apparition de l’étoile à sa probabilité.

  Les faces ont toutes la même chance d’apparaître : la probabilité d’obtenir l’étoile est donc 1/6. La fréquence observée est 17/90. La comparaison donne : >. La fréquence est supérieure à la probabilité. Cette différence ne suffit pas à montrer que le dé est mal équilibré.

• Une roue est partagée en 4 secteurs de même taille, dont 1 est bleu. Chaque secteur a la même chance d’être désigné. Sur 56 tours de roue, le secteur bleu est désigné 14 fois. Compare sa fréquence observée à sa probabilité.

  La probabilité d’obtenir le secteur bleu est 1/4. Sa fréquence observée est 14/56. On peut donc écrire le signe = pour les comparer : ici, la fréquence et la probabilité sont égales. Cette égalité est possible, sans être obligatoire, et ne garantit pas le même résultat lors d’une nouvelle série de tours.