Résoudre un problème de distance à un point

Pour placer un objet à une distance précise d’un repère ou délimiter une zone accessible, on utilise un cercle ou un disque. Ces figures permettent aussi de trouver les positions qui respectent plusieurs conditions de distance.

Le cours

1. La distance entre un point A et un point M est la longueur du segment [AM]. On la note AM. Avant de comparer des distances ou de tracer une figure, il faut les exprimer dans la même unité et, si nécessaire, tenir compte de l’échelle du dessin.

2. Tous les points situés à une distance exactement égale à une longueur donnée d’un point A forment un cercle. Le point A est son centre et la longueur donnée est son rayon. Pour tracer ce cercle, on place la pointe du compas sur A et on règle son ouverture sur le rayon demandé. Seuls les points du cercle conviennent : les points à l’intérieur ne sont pas à la distance exacte demandée.

3. Tous les points situés à une distance inférieure ou égale à une longueur donnée d’un point A forment un disque. Ce disque comprend l’intérieur du cercle et le cercle lui-même. Les expressions « au plus », « à une distance maximale de » et « ne pas dépasser » indiquent que la limite est autorisée. En revanche, « à moins de » indique que la limite est exclue.

4. Pour résoudre un problème, on repère le point de référence et on traduit chaque condition par un cercle ou un disque. On trace les cercles nécessaires et on colorie les zones autorisées. Si plusieurs conditions doivent être respectées en même temps, on garde uniquement les points communs aux figures obtenues. Par exemple, une distance exacte à un point et une distance maximale à un autre conduisent à garder la partie du cercle située dans le disque, bord compris.

5. On termine en décrivant les positions possibles et en vérifiant qu’elles respectent toutes les conditions. Selon le problème, la solution peut être une zone, une partie de cercle, des points isolés ou aucun point. Pour vérifier un point déjà placé, on compare sa distance à chaque point de référence avec la distance demandée.

Des exemples

• Dans une cour, on veut placer des repères à exactement 270 cm d’un point A. Exprime cette distance en mètres, puis décris toutes les positions possibles.

  La conversion donne 27/10 m. Les positions possibles forment le cercle de centre A et de rayon 27/10 m. Les points à l’intérieur ou à l’extérieur de ce cercle ne conviennent pas, car leur distance à A n’est pas exactement celle demandée.

• Un robot est relié à une borne B par un câble composé de longueurs de 4 m et de 2,5 m mises bout à bout. Le câble peut être tendu ou détendu. En l’absence d’obstacle, quelle zone le robot peut-il atteindre ?

  La longueur totale du câble est 4 + 2,5 = 13/2 m. Le robot peut se trouver à une distance inférieure ou égale à 13/2 m de B. La zone accessible est donc le disque de centre B et de rayon 13/2 m, bord compris.

• On cherche les points situés à exactement 5,4 cm de A et à au plus 5,4 cm de B. Un point P vérifie AP = 5,4 cm et BP = 8,6 cm. Ce point respecte-t-il toutes les conditions ?

  Le point P appartient bien au cercle de centre A et de rayon 5,4 cm. Mais sa distance à B dépasse la distance maximale autorisée de 8,6 − 5,4 = 16/5 cm. Il est donc à l’extérieur du disque de centre B et de rayon 5,4 cm. Le point P ne convient pas : respecter seulement la condition concernant A ne suffit pas.