Mathématiques · 6e · environ 20 min
Utiliser la médiatrice pour trouver des points équidistants
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine [AB], puis sa médiatrice avec une équerre et une règle. Place M sur cette droite et relie M à A et à B. Marque MA et MB avec le même petit trait pour montrer leur égalité. Déplace ensuite M le long de la médiatrice : les longueurs changent, mais elles restent égales entre elles.
Un dessin aide à voir la propriété, mais son apparence ne suffit pas à prouver une égalité. Il faut savoir que M appartient bien à la médiatrice.
Sur une feuille, marque A et B, puis plie pour que A se pose exactement sur B. Déplie : le pli représente la médiatrice de [AB]. Marque un point P sur le pli. Quand tu replies, P reste en place et A rejoint B : les trajets de P vers A et de P vers B se superposent.
Le pli doit faire coïncider A et B avec soin. Cette manipulation fait comprendre la propriété ; dans une réponse écrite, explique ensuite pourquoi les distances sont égales.
Regarde d'abord ce que tu sais. Si tu sais que P appartient à la médiatrice de [AB], tu peux écrire PA = PB. Si tu sais que PA = PB, tu peux écrire que P appartient à la médiatrice de [AB]. Pour un problème de localisation, transforme chaque égalité de distances en une droite sur laquelle le point doit se trouver.
Les distances comparées doivent relier le même point P aux deux extrémités A et B du segment. Une égalité entre d'autres longueurs ne permet pas cette conclusion.
Les pièges
Confondre un point de la médiatrice avec le milieu du segment.
Tu as utilisé une propriété du milieu à la place de celle de la médiatrice. Pour M sur la médiatrice de [AB], écris MA = MB, sans couper ces longueurs en deux.
Penser que des distances égales ne permettent pas de situer le point.
Tu sais que PA = PB. Cette égalité te donne un emplacement précis à chercher : P doit être sur la médiatrice de [AB].
Affirmer une égalité uniquement parce que le dessin semble symétrique.
Cherche une information qui garantit l'égalité : l'appartenance à la médiatrice, un codage ou une donnée de l'énoncé.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
La médiatrice permet de trouver tous les points situés à égale distance de deux lieux. Elle sert aussi à prouver que deux longueurs sont égales, sans avoir besoin de les mesurer.
Le cours
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Attention : passer par le milieu ne suffit pas ; la droite doit aussi être perpendiculaire au segment.
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des extrémités de ce segment. Ainsi, si M appartient à la médiatrice de [AB], alors MA = MB.
La propriété fonctionne aussi dans l’autre sens : si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Ainsi, si PA = PB, alors P appartient à la médiatrice de [AB]. Si les distances sont différentes, le point n’appartient pas à cette médiatrice.
Pour chercher un emplacement aussi éloigné d’un lieu A que d’un lieu B, on trace la médiatrice de [AB] : tous ses points conviennent, et aucun autre point ne convient. Si l’emplacement doit aussi se trouver sur une route représentée par une droite, on cherche les points communs à cette droite et à la médiatrice.
Pour chercher un point à égale distance de trois points A, B et C, on trace les médiatrices de [AB] et de [AC]. Tout point commun à ces médiatrices convient : sa distance à A est égale à sa distance à B et à sa distance à C. Dans une justification, on indique toujours ce que l’on sait, puis le sens de la propriété que l’on utilise ; l’apparence du dessin ne suffit pas.
Des exemples
Le point M appartient à la médiatrice du segment [AB]. On sait que MA = 6,8 cm. Quelle est la longueur MB en millimètres ?
Puisque M appartient à la médiatrice de [AB], il est à égale distance de A et de B. Donc MB = MA = 6,8 cm. Pour convertir cette longueur en millimètres, on multiplie par 10 : MB = 68 mm.
Une fontaine F se trouve à 47 m de l’entrée A d’un jardin et à 47 m de l’entrée B. La fontaine appartient-elle à la médiatrice du segment [AB] ?
On compare les distances : 47 − 47 = 0 m. L’écart est nul, donc FA = FB. Puisque F est à égale distance de A et de B, la fontaine appartient à la médiatrice de [AB].
On cherche un emplacement aussi éloigné du point A que du point B. Un emplacement P est situé à 58 m de A et à 51 m de B. Cet emplacement convient-il ?
La différence entre les distances vaut 58 − 51 = 7 m. Elle n’est pas nulle : PA et PB sont différentes. Le point P n’appartient donc pas à la médiatrice de [AB] et ne convient pas. Pour trouver un emplacement qui convient, il faut choisir un point sur cette médiatrice.
À retenir
- La médiatrice d’un segment passe par son milieu et lui est perpendiculaire.
- Un point sur la médiatrice de [AB] vérifie MA = MB.
- Si MA = MB, alors M appartient à la médiatrice de [AB].
- Si MA et MB sont différentes, M n’appartient pas à la médiatrice de [AB].
- Pour trouver tous les points à égale distance de A et de B, on trace la médiatrice de [AB].
- Une justification utilise les informations données et la propriété, pas seulement le dessin.
Les mots de la leçon
- Médiatrice d’un segment
- Droite perpendiculaire à un segment qui passe par son milieu.
- Équidistant
- Situé à égale distance. Dire que M est équidistant de A et de B signifie que MA = MB.
- Milieu d’un segment
- Point du segment qui le partage en deux segments de même longueur.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeLa médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par son milieu. Si un point M appartient à cette droite, alors MA = MB. Dans l'autre sens, si PA = PB, alors P appartient à la médiatrice de [AB] : cette propriété permet aussi de trouver où placer un point.
On cherche où installer une borne à égale distance des arbres A et B, mais aussi des arbres B et C. Les médiatrices de [AB] et de [BC] se coupent en O. Explique pourquoi O convient.
- O appartient à la médiatrice de [AB], donc OA = OB.Chaque point de la médiatrice d'un segment est à égale distance de ses extrémités.
- O appartient aussi à la médiatrice de [BC], donc OB = OC.On utilise la même propriété avec les extrémités B et C.
- On obtient OA = OB = OC : la borne peut être installée en O.Les distances aux arbres A et C sont toutes les deux égales à la distance à B.
- Tout emplacement qui convient doit appartenir aux deux médiatrices.Dans l'autre sens, être à égale distance de A et B oblige à appartenir à la médiatrice de [AB], et être à égale distance de B et C oblige à appartenir à celle de [BC].
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Résoudre un problème de localisation ou d’égalité de longueurs en utilisant les deux sens de la propriété : un point appartient à la médiatrice d’un segment si et seulement s’il est à égale distance de ses extrémités.
- Au programme
- 6e · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers