Construire une image en utilisant les propriétés de la symétrie axiale

La symétrie axiale permet de construire une figure comme si elle était vue dans un miroir. On utilise ses propriétés pour tracer l’image d’un segment, d’un polygone ou d’un cercle, puis expliquer pourquoi la construction est correcte.

Le cours

1. Deux figures symétriques par rapport à une droite appelée axe de symétrie se superposent lorsqu’on plie la feuille suivant cet axe. Si un point A n’appartient pas à l’axe, son image A′ se trouve sur la perpendiculaire à l’axe passant par A, de l’autre côté de l’axe et à la même distance de celui-ci. L’axe est donc la médiatrice du segment [AA′]. Un point situé sur l’axe est sa propre image.

2. Pour construire l’image A′ d’un point A situé hors de l’axe, trace la perpendiculaire à l’axe passant par A et appelle H son point d’intersection avec l’axe. Avec le compas, reporte la longueur HA de l’autre côté de l’axe sur cette perpendiculaire : tu obtiens A′ avec HA′ = HA. Cette construction est justifiée car l’axe est perpendiculaire à [AA′] et passe par son milieu.

3. La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures des angles et l’alignement des points. Elle conserve aussi la perpendicularité et le parallélisme. Pour construire l’image du segment [AB], construis les images A′ et B′ de ses extrémités, puis trace [A′B′]. On a A′B′ = AB. Si un point C appartient à [AB], son image C′ appartient à [A′B′].

4. Pour construire l’image d’un polygone, construis l’image de chaque sommet, puis relie les sommets images dans le même ordre que les sommets de départ. Les côtés correspondants ont la même longueur et les angles correspondants ont la même mesure : un rectangle a donc pour image un rectangle, et un carré a pour image un carré. Pour justifier une étape, indique précisément la propriété utilisée, par exemple : « A′B′ = AB car la symétrie axiale conserve les longueurs. »

5. L’image d’un cercle de centre O et de rayon r est le cercle de centre O′, image de O, et de même rayon r. Construis donc O′, garde l’ouverture du compas correspondant au rayon, puis trace le cercle de centre O′. En effet, chaque point du cercle reste à la même distance du centre image. Si O appartient à l’axe, le cercle image se confond avec le cercle de départ.

Des exemples

• Un point C appartient au segment [AB], avec AC = 3,7 cm et CB = 2,6 cm. Construis l’image du segment [AB] par rapport à une droite (d), puis détermine la longueur A′B′.

  Construis A′ et B′ en traçant les perpendiculaires à (d) passant par A et B, puis en reportant leurs distances à l’axe de l’autre côté. Trace ensuite [A′B′]. Comme C appartient à [AB], on a AB = AC + CB = 3,7 cm + 2,6 cm = 63/10 cm. La symétrie axiale conserve les longueurs, donc A′B′ = 63/10 cm.

• Le rectangle ABCD a pour longueur 7,3 cm et pour largeur 4,8 cm. Construis son image A′B′C′D′ par rapport à une droite (d), puis détermine le périmètre du rectangle image.

  Construis les images A′, B′, C′ et D′ des sommets, puis relie A′ à B′, B′ à C′, C′ à D′ et D′ à A′. La symétrie axiale conserve les angles droits et les longueurs : la figure obtenue est un rectangle de longueur 7,3 cm et de largeur 4,8 cm. Son périmètre est la somme de ses côtés, soit 121/5 cm.

• Un cercle de centre O a un diamètre de 17,8 cm. Construis son image par rapport à une droite (d) en précisant l’ouverture du compas à utiliser.

  Le rayon est la moitié du diamètre de 17,8 cm : il mesure donc 89/10 cm. Construis O′, image de O par rapport à (d), puis trace le cercle de centre O′ avec une ouverture de compas de 89/10 cm. Cette construction est correcte car l’image d’un cercle a pour centre l’image de son centre et conserve son rayon.