Mathématiques · 6e · environ 15 min
Construire le cercle circonscrit à un triangle
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Sur un cercle passant par A, B et C, marque le centre O et colorie [OA], [OB] et [OC] de la même couleur. Ces segments sont des rayons : ils ont la même longueur. Pour retrouver O quand seul le triangle est donné, cherche donc un point aussi éloigné de A que de B et de C. Les médiatrices permettent de le trouver.
Un dessin aide à comprendre, mais un point qui semble bien placé n’est pas forcément le centre. Le centre peut être à l’intérieur du triangle, sur un côté ou à l’extérieur.
Dessine un triangle ABC sur du papier calque. Plie le calque pour superposer A et B, marque le pli, puis déplie. Recommence en superposant A et C. Repasse les plis à la règle : leur point de rencontre est le centre recherché. Vérifie au compas que ce point est aussi éloigné de A, de B et de C.
Les plis doivent être précis et la feuille assez grande pour contenir leur point de rencontre. Le pliage explique la construction, mais ne remplace pas une construction à la règle et au compas lorsqu’elle est demandée.
Si O appartient à la médiatrice de [AB], alors OA = OB. S’il appartient aussi à la médiatrice de [AC], alors OA = OC. Ces égalités donnent OA = OB = OC : le cercle de centre O passant par A passe donc aussi par B et C. Il suffit ainsi de construire les médiatrices de deux côtés.
Cette construction concerne un vrai triangle : A, B et C ne doivent pas être alignés. Une seule médiatrice ne suffit pas à déterminer le centre.
Les pièges
Tracer une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé pour chercher le centre.
Tu as utilisé le milieu d’un côté, mais il manque la bonne direction. Trace la droite perpendiculaire à ce côté en son milieu : c’est sa médiatrice.
Placer forcément le centre à l’intérieur du triangle.
Le croisement n’apparaît pas à l’intérieur ? Prolonge tes médiatrices : c’est leur rencontre qui donne le centre.
Utiliser la longueur d’un côté du triangle comme ouverture du compas.
Garde la pointe du compas sur le centre trouvé et ouvre jusqu’à un sommet. Vérifie ensuite les autres sommets sans changer l’ouverture.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Pour le tracer, on détermine son centre à l’aide des médiatrices des côtés du triangle.
Le cours
Pour un triangle ABC, le cercle circonscrit passe par A, B et C. Son centre O est donc à la même distance de ces trois sommets : OA = OB = OC. Cette distance commune est le rayon du cercle.
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Chaque point de la médiatrice est à la même distance des deux extrémités du segment. Ainsi, un point de la médiatrice de [AB] est à la même distance de A et de B.
Pour construire la médiatrice de [AB] au compas, choisis une ouverture supérieure à la moitié de AB. Trace des arcs de cercle de centre A, de part et d’autre de [AB]. Sans changer l’ouverture, trace des arcs de centre B qui coupent les précédents. La droite passant par les deux points d’intersection des arcs est la médiatrice de [AB].
Construis les médiatrices de deux côtés du triangle, par exemple [AB] et [AC]. Nomme O leur point d’intersection. Comme O appartient à ces deux médiatrices, OA = OB et OA = OC : O est bien à la même distance des trois sommets. Pique le compas en O, ouvre-le jusqu’à A et trace le cercle. Vérifie qu’il passe aussi par B et par C. La médiatrice du troisième côté passe également par O.
Le centre du cercle circonscrit n’est pas toujours à l’intérieur du triangle : il peut être à l’extérieur. Dans un triangle rectangle, il est situé au milieu de l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit. Le rayon est alors égal à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Des exemples
Pour construire le cercle circonscrit au triangle ABC, tu commences par la médiatrice de [AB]. Le segment [AB] mesure 9,6 cm. Pour placer son milieu I à la règle graduée, trouve la moitié de 9,6 cm.
La moitié de 9,6 cm est 24/5 cm. Place donc I sur [AB] avec AI = IB = 24/5 cm, puis trace la perpendiculaire à [AB] passant par I avec l’équerre. C’est la médiatrice de [AB]. Construis ensuite la médiatrice de [AC] : leur intersection est le centre O. Trace enfin le cercle de centre O passant par A.
Le triangle DEF est rectangle en D. Son hypoténuse [EF] mesure 15,4 cm. Pour connaître le rayon de son cercle circonscrit, trouve la moitié de 15,4 cm.
Le centre O du cercle circonscrit est le milieu de [EF]. La moitié de 15,4 cm est 77/10 cm : c’est le rayon. Place O au milieu de [EF], puis trace le cercle de centre O passant par E. Il passe aussi par F et par D.
À retenir
- Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle.
- Son centre est le point d’intersection des médiatrices des côtés.
- Deux médiatrices suffisent pour trouver le centre.
- Le rayon est la distance du centre à n’importe quel sommet.
- Le centre peut être à l’extérieur du triangle.
- Dans un triangle rectangle, le centre est le milieu de l’hypoténuse.
Les mots de la leçon
- Cercle circonscrit à un triangle
- Cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
- Médiatrice d’un segment
- Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu.
- Rayon
- Distance entre le centre d’un cercle et un point de ce cercle.
- Hypoténuse
- Dans un triangle rectangle, côté opposé à l’angle droit.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeLe cercle circonscrit à un triangle passe par ses trois sommets. Pour trouver son centre, trace les médiatrices de deux côtés : leur point de rencontre est à la même distance des trois sommets. Place la pointe du compas sur ce point, ouvre jusqu’à un sommet et trace le cercle.
Construis le cercle circonscrit à un triangle ABC avec une règle et un compas.
- Trace deux arcs de même ouverture, l’un centré en A et l’autre en B. Choisis une ouverture assez grande pour obtenir deux points de croisement, de part et d’autre de [AB].Chaque point de croisement est à la même distance de A et de B.
- Trace la droite passant par les deux points de croisement.Cette droite est la médiatrice de [AB] : elle coupe [AB] en son milieu et lui est perpendiculaire.
- Construis de la même façon la médiatrice de [AC], puis nomme O le point de rencontre des deux médiatrices. Prolonge les droites si nécessaire.O est à la même distance de A et de B, mais aussi de A et de C. Donc OA, OB et OC ont la même longueur.
- Place la pointe du compas en O, ouvre jusqu’à A, puis trace le cercle sans modifier l’ouverture.Le cercle de centre O et de rayon OA passe aussi par B et C.
- Vérifie que le trait passe bien par A, B et C.Si un sommet n’est pas sur le cercle, vérifie les médiatrices et l’ouverture du compas.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Tracer le cercle passant par les trois sommets d’un triangle en déterminant son centre.
- Au programme
- 6e · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers