Construire et utiliser la bissectrice d’un angle

La bissectrice permet de partager un angle en deux angles de même mesure. On l’utilise pour construire une figure avec précision, calculer une mesure d’angle ou justifier qu’un angle a été partagé en deux angles égaux.

Le cours

1. La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue de son sommet qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Si la demi-droite [OC) est située à l’intérieur de l’angle AOB et si les angles AOC et COB ont la même mesure, alors [OC) est la bissectrice de l’angle AOB.

2. Chaque angle obtenu mesure la moitié de l’angle de départ : on divise donc la mesure de l’angle de départ par deux. Inversement, pour retrouver la mesure de l’angle de départ, on multiplie par deux la mesure de l’un des angles obtenus.

3. Pour construire la bissectrice au rapporteur, mesure l’angle, puis calcule la moitié de sa mesure. Place le centre du rapporteur sur le sommet et aligne sa graduation zéro avec un côté de l’angle. À l’intérieur de l’angle, marque un point à la mesure calculée, puis trace à la règle la demi-droite qui part du sommet et passe par ce point. Vérifie que tu as utilisé la bonne graduation du rapporteur.

4. Pour construire la bissectrice au compas, trace un arc de cercle centré sur le sommet O : il coupe les côtés de l’angle en M et N. Avec une même ouverture de compas, trace ensuite un arc centré en M et un arc centré en N. Choisis une ouverture suffisante pour que ces arcs se coupent en un point P à l’intérieur de l’angle, distinct de O. Trace la demi-droite [OP) : c’est la bissectrice. Garde bien la même ouverture pour les arcs centrés en M et en N.

5. Pour justifier qu’une demi-droite est une bissectrice, vérifie qu’elle part du sommet, qu’elle est à l’intérieur de l’angle et que les angles qu’elle forme ont la même mesure. Une figure qui semble partagée également ne suffit pas : il faut s’appuyer sur des mesures données, un calcul ou une construction précise.

Des exemples

• L’angle AOB mesure 94°. La demi-droite [OC) est sa bissectrice. Calcule la mesure de l’angle AOC.

  La bissectrice partage l’angle AOB en deux angles de même mesure. On cherche donc la moitié de 94°. L’angle AOC mesure 47°, tout comme l’angle COB.

• La demi-droite [OS) est la bissectrice de l’angle MON. L’angle MOS mesure 38°. Quelle est la mesure de l’angle MON ?

  Les angles MOS et SON ont la même mesure : chacun mesure 38°. L’angle MON mesure donc 38° × 2 = 76°.

• L’angle AOB mesure 154°. La demi-droite [OC) est située à l’intérieur de cet angle et l’angle AOC mesure 77°. Montre que [OC) est la bissectrice de l’angle AOB.

  Les angles AOC et COB forment ensemble l’angle AOB. L’angle COB mesure donc 154° − 77° = 77°. Cette mesure est égale à celle de l’angle AOC, qui vaut 77°. Comme [OC) part du sommet O et partage l’angle AOB en deux angles de même mesure, c’est sa bissectrice.