Construire des triangles et exploiter leurs angles particuliers

Construire un triangle permet de réaliser une figure précise à partir de longueurs ou d’angles donnés. Les propriétés des triangles particuliers servent ensuite à déterminer des angles et à vérifier une construction.

Le cours

1. Un triangle possède trois sommets, trois côtés et trois angles. Dans le triangle ABC, l’angle ABC a pour sommet B : la lettre du sommet est toujours au milieu. La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°. Pour construire une figure précise, on utilise la règle graduée pour les longueurs, le compas pour reporter des longueurs, le rapporteur pour les angles et l’équerre pour les angles droits.

2. Pour construire un triangle dont on connaît les trois longueurs, trace un premier côté à la règle. Avec le compas, trace un arc centré sur une extrémité de ce côté, avec pour rayon la longueur du deuxième côté. Trace un autre arc centré sur l’autre extrémité, avec pour rayon la longueur du troisième côté. Leur point d’intersection donne le dernier sommet : relie-le aux deux autres sommets. La construction n’est possible que si la longueur du plus grand côté est strictement inférieure à la somme des deux autres longueurs.

3. Si tu connais deux longueurs et l’angle compris entre les côtés correspondants, trace cet angle au rapporteur, puis reporte les longueurs sur ses deux côtés et relie les points obtenus. Si tu connais un côté et les angles à ses extrémités, trace ce côté, puis les deux angles du même côté du segment : les demi-droites se rencontrent au dernier sommet. Ces deux angles doivent avoir une somme inférieure à 180°.

4. Un triangle rectangle possède un angle droit, qui mesure 90°. Pour le construire, trace les côtés de l’angle droit à l’aide de l’équerre, en respectant les longueurs données. Les deux autres angles ont une somme de 90° : si tu connais l’un, soustrais sa mesure à 90° pour trouver l’autre.

5. Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces côtés est le sommet principal ; le côté opposé est la base. Les angles aux extrémités de la base sont égaux. Un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur et ses trois angles mesurent chacun 60°. Pour construire ces triangles, utilise le compas afin de reporter les longueurs égales. Les propriétés des angles permettent ensuite de contrôler la figure.

Des exemples

• Dans un triangle rectangle, l’angle droit mesure 90° et un autre angle mesure 38°. Quelle est la mesure du dernier angle ?

  Les angles autres que l’angle droit ont une somme de 90°. On retire l’angle connu : 90° − 38° = 52°. Le dernier angle mesure donc 52°.

• Dans un triangle isocèle, un angle à la base mesure 47°. Quelle est la somme des mesures des 2 angles à la base ?

  Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux : chacun mesure 47°. Leur somme vaut donc 2 × 47° = 94°.

• Construis un triangle équilatéral à partir d’un segment donné. Chacun de ses 3 angles doit mesurer 60°. Quelle est la somme de leurs mesures ?

  Ouvre le compas à la longueur du segment. Trace des arcs centrés sur ses extrémités et choisis leur intersection comme dernier sommet. Relie les sommets, puis vérifie les angles au rapporteur : chacun mesure 60°. Leur somme vaut 3 × 60° = 180°.