Mathématiques · 6e · environ 15 min
Caractériser le symétrique d’un point par rapport à une droite
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Sur une figure, relie les points distincts A et B et repère leur intersection I avec l'axe. Cherche un codage d'angle droit entre l'axe et [AB], puis des marques indiquant IA = IB. Ces marques montrent que l'axe est la médiatrice de [AB]. Si le point étudié est directement sur l'axe, son image est ce même point.
Une figure qui semble bien dessinée ne suffit pas à prouver la symétrie. Appuie-toi sur les codages ou sur les informations de l'énoncé.
Trace une droite sur une feuille et place un point A en dehors de cette droite. Plie exactement suivant la droite, puis reporte A sur l'autre partie de la feuille pour obtenir B. Déplie : A et B se superposent quand tu replies. Relie-les et observe que le pli coupe [AB] à angle droit en son milieu. Marque aussi un point sur le pli : il reste au même endroit pendant le pliage.
Le pliage aide à comprendre et à vérifier approximativement. Pour justifier sur une figure, utilise les propriétés données plutôt que la précision du pli.
Commence par regarder si le point est sur l'axe : si oui, il est son propre symétrique. Pour vérifier que des points distincts A et B sont symétriques, cherche ensuite deux informations : l'axe est perpendiculaire à (AB) et il passe par le milieu de [AB]. Si les deux sont établies, conclus que l'axe est la médiatrice de [AB]. Si une condition est fausse, les points ne sont pas symétriques.
Une information manquante n'est pas forcément fausse : elle peut simplement empêcher de conclure. Le cas du point situé sur l'axe se traite séparément.
Les pièges
Conclure à la symétrie dès que l'axe est perpendiculaire au segment.
Tu as vérifié l'angle droit. Vérifie maintenant que l'intersection partage le segment en longueurs égales.
Conclure à la symétrie parce que l'axe passe par le milieu du segment.
Le milieu est bien repéré. Cherche aussi une information qui garantit que l'axe est perpendiculaire au segment.
Chercher un autre point comme symétrique d'un point placé sur l'axe.
Regarde d'abord si le point appartient à l'axe. Si c'est le cas, son symétrique est le point lui-même.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
La symétrie axiale permet de reconnaître des points qui se correspondent comme dans un miroir. Pour vérifier qu’un point est le symétrique d’un autre, on étudie leur position par rapport à une droite appelée l’axe de symétrie.
Le cours
Lorsque A et B sont des points distincts, B est le symétrique de A par rapport à une droite (d) si cette droite est la médiatrice du segment [AB]. Cela signifie que (d) est perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu.
Pour vérifier cette propriété, on repère le point H où l’axe coupe le segment [AB]. Il faut établir que l’axe est perpendiculaire à [AB] et que AH = HB. Ces conditions doivent être vérifiées ensemble : aucune ne suffit seule.
Si A et B sont distincts et symétriques par rapport à (d), ils sont situés de part et d’autre de (d). L’axe coupe alors [AB] à angle droit et partage ce segment en deux segments de même longueur. On peut aussi dire que A est le symétrique de B par rapport à (d).
Si un point appartient à l’axe, son symétrique est lui-même : il ne change pas de place. Dans ce cas, on ne cherche pas la médiatrice d’un segment, puisque le point et son symétrique sont confondus.
Des exemples
Le segment [AB] coupe la droite (d) en H, et (d) est perpendiculaire à [AB]. On sait que AH = 7 cm et HB = 7 cm. B est-il le symétrique de A par rapport à (d) ? Quelle est la longueur AB ?
Comme AH = 7 cm et HB = 7 cm, les longueurs AH et HB sont égales. H est donc le milieu de [AB]. La droite (d) est aussi perpendiculaire à [AB] : c’est la médiatrice de [AB]. B est donc le symétrique de A par rapport à (d). Puisque H appartient au segment [AB], AB = AH + HB = 7 cm + 7 cm = 14 cm.
Le segment [CD] coupe la droite (d) en H, et (d) est perpendiculaire à [CD]. On sait que CH = 11 cm et HD = 8 cm. Calcule la différence entre ces longueurs, puis indique si D est le symétrique de C par rapport à (d).
La différence entre CH et HD vaut 11 cm − 8 cm = 3 cm. Ces longueurs ne sont donc pas égales : H n’est pas le milieu de [CD]. Même si (d) est perpendiculaire à [CD], elle n’en est pas la médiatrice. D n’est donc pas le symétrique de C par rapport à (d).
À retenir
- Pour des points distincts, l’axe de symétrie est la médiatrice du segment qui les relie.
- Il faut vérifier la perpendicularité et le passage par le milieu.
- Une seule de ces conditions ne suffit pas.
- Un point situé sur l’axe est son propre symétrique.
Les mots de la leçon
- Axe de symétrie
- Droite par rapport à laquelle on effectue une symétrie axiale.
- Médiatrice d’un segment
- Droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
- Milieu d’un segment
- Point du segment qui le partage en deux segments de même longueur.
- Droites perpendiculaires
- Droites qui se coupent en formant un angle droit.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeImagine un segment [AB] qui traverse une droite (d) à angle droit en son milieu : A et B sont symétriques par rapport à (d). La droite (d) est alors la médiatrice de [AB] : elle est perpendiculaire au segment et passe par son milieu. Un point situé sur (d) reste à sa place : il est son propre symétrique.
Le segment [AB] coupe la droite (d) en I. On sait que (AB) est perpendiculaire à (d) et que IA = IB. Le point C appartient à (d). Justifie que A et B sont symétriques par rapport à (d), puis indique le symétrique de C.
- I appartient à [AB] et IA = IB : I est donc le milieu de [AB].Le milieu d'un segment le partage en deux segments de même longueur.
- La droite (d) passe par le milieu de [AB] et elle est perpendiculaire à (AB). C'est donc la médiatrice de [AB].Ces deux conditions définissent la médiatrice d'un segment.
- A et B sont symétriques par rapport à (d).Pour des points distincts, être symétriques par rapport à une droite signifie que cette droite est la médiatrice du segment qui les relie.
- Le symétrique de C est C lui-même.C est sur l'axe de symétrie : il ne change pas de place.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Vérifier que deux points distincts sont symétriques en montrant que l’axe est la médiatrice du segment qui les relie, et indiquer qu’un point situé sur l’axe est son propre symétrique.
- Au programme
- 6e · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers