Résoudre un problème mêlant conversions de longueurs et d’aires

Pour calculer la surface d’un panneau, d’un sol ou d’un terrain, il faut parfois utiliser des mesures données dans des unités différentes. On commence par harmoniser les unités de longueur, puis on calcule l’aire et on la convertit dans l’unité demandée si nécessaire.

Le cours

1. Avant de calculer, repère la figure, ses dimensions et l’unité demandée pour la réponse. Toutes les longueurs utilisées dans une même formule d’aire doivent être exprimées dans la même unité. Choisis une unité pratique, puis convertis les longueurs qui en ont besoin.

2. Pour les longueurs, chaque passage vers l’unité immédiatement plus petite multiplie la mesure par 10 ; chaque passage vers l’unité immédiatement plus grande la divise par 10. Par exemple, 1 m = 100 cm : pour passer des centimètres aux mètres, on divise par 100.

3. Calcule ensuite l’aire avec la formule adaptée : pour un rectangle, A = longueur × largeur ; pour un carré, A = côté × côté. L’unité d’aire correspond à l’unité des longueurs : des mètres multipliés par des mètres donnent des mètres carrés, notés m².

4. Pour les aires, chaque passage vers l’unité immédiatement plus petite multiplie la mesure par 100, et non par 10. En effet, 1 m = 10 dm, donc 1 m² = 10 dm × 10 dm = 100 dm². De même, 1 m = 100 cm, donc 1 m² = 100 × 100 cm² = 10 000 cm². Dans le sens inverse, on divise par le facteur correspondant.

5. Présente les étapes dans l’ordre : conversions des longueurs, calcul de l’aire, puis conversion éventuelle de cette aire. Justifie les facteurs employés à l’aide des égalités entre unités et termine par une phrase donnant la surface avec son unité. Vérifie aussi le sens de la conversion : une même surface a une mesure plus grande lorsqu’on l’exprime dans une unité plus petite.

Des exemples

• La longueur d’un panneau rectangulaire est donnée en mètres, mais sa largeur mesure 275 cm. Pour préparer le calcul de son aire en mètres carrés, convertis cette largeur en mètres en la multipliant par 1/100.

  On harmonise les unités avant de multiplier les dimensions. Le mètre étant plus grand que le centimètre, la mesure de la largeur doit diminuer. Le facteur 1/100 correspond au rapport entre le centimètre et le mètre : 275 × 1/100 = 11/4. La largeur à utiliser dans la formule est donc 11/4 m.

• Après conversion de sa largeur, le panneau rectangulaire mesure 6,4 m de long et 2,75 m de large. Quelle est son aire en mètres carrés ?

  Les dimensions sont maintenant exprimées dans la même unité : on peut appliquer la formule de l’aire du rectangle. A = 6,4 × 2,75 = 88/5 m². Le résultat est en mètres carrés, car on a multiplié des mètres par des mètres.

• L’aire du panneau est de 17,6 m². Exprime cette aire en centimètres carrés en utilisant le facteur de conversion 10000.

  Pour passer des mètres carrés aux centimètres carrés, le facteur de conversion des longueurs s’applique dans les deux directions du rectangle : on obtient donc le facteur 10000. Ainsi, 17,6 × 10000 = 176000. Le panneau a une aire de 176000 cm². La mesure augmente, mais la surface du panneau reste la même.