Calculer un enchaînement d’additions et de soustractions

Les nombres relatifs permettent de décrire des températures, des altitudes ou des gains et des pertes. Pour calculer plusieurs variations successives, on enchaîne des additions et des soustractions en faisant attention au signe de chaque nombre.

Le cours

1. Dans une expression, distingue le signe du nombre et le signe de l’opération : dans (+4,7) − (−2,3), on soustrait un nombre négatif à un nombre positif. Les parenthèses autour des nombres permettent de bien lire leurs signes.

2. Pour additionner deux nombres de même signe, additionne leurs distances à zéro et garde leur signe commun. Pour additionner deux nombres de signes contraires, soustrais la plus petite distance à zéro de la plus grande et garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro. Deux nombres opposés ont pour somme zéro.

3. Soustraire un nombre revient à additionner son opposé : a − b = a + (−b). Ainsi, soustraire un nombre positif revient à ajouter un nombre négatif ; soustraire un nombre négatif revient à ajouter un nombre positif. Une fois toutes les soustractions transformées en additions, tu peux changer l’ordre des termes et les regrouper, en conservant le signe de chacun.

4. Première méthode : transformer les soustractions en additions d’opposés, puis regrouper les nombres pour faciliter le calcul. Par exemple : (−6,4) + (+9,7) − (−2,6) − (+3,2) = (−6,4) + (+9,7) + (+2,6) + (−3,2). La somme des nombres positifs vaut +12,3 et celle des nombres négatifs vaut −9,6. Le résultat est donc (+12,3) + (−9,6) = +2,7.

5. Deuxième méthode : calculer de gauche à droite, car les additions et les soustractions ont la même priorité. Par exemple : (+8,6) − (+11,4) + (−2,7) − (−4,8) = (−2,8) + (−2,7) − (−4,8) = (−5,5) − (−4,8) = (−5,5) + (+4,8) = −0,7. À chaque étape, remplace seulement le calcul effectué par son résultat et recopie la suite sans la modifier. Si des parenthèses contiennent elles-mêmes un calcul, effectue d’abord ce calcul.

Des exemples

• Dans un enchaînement calculé de gauche à droite, il reste (-7,8) − (-3,5). Termine le calcul.

  On soustrait le nombre négatif (-3,5) : cela revient à additionner son opposé, qui est positif. On ajoute donc cet opposé à (-7,8). Les nombres à additionner sont de signes contraires : on soustrait leurs distances à zéro et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro. Le résultat est -43/10.

• Après avoir transformé les soustractions en additions et regroupé les termes, on obtient (16,9) + (-12,4). Termine le calcul.

  Les nombres (16,9) et (-12,4) sont de signes contraires. On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, puis on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro. La somme, qui est aussi le résultat de l’enchaînement, vaut 9/2.

• Dans un autre enchaînement calculé de gauche à droite, la dernière étape est (-4,9) − (6,8). Termine le calcul.

  Soustraire le nombre positif (6,8) revient à ajouter son opposé, qui est négatif. Comme (-4,9) est également négatif, on additionne les distances à zéro et on garde le signe négatif. Le résultat est -117/10.