Reconnaître une symétrie centrale

La symétrie centrale permet de reconnaître une figure obtenue en faisant un demi-tour autour d’un point. On l’utilise pour comparer des figures et vérifier leur position par rapport à un centre donné.

Le cours

1. La symétrie centrale de centre O est une transformation qui fait tourner une figure d’un demi-tour autour du point O, c’est-à-dire d’un angle de 180°. Le point O reste à la même place.

2. Un point A et son image A′ par cette symétrie sont alignés avec O, situés de part et d’autre de O et à la même distance de O. Autrement dit, O est le milieu du segment [AA′]. Si A est confondu avec O, son image est O lui-même.

3. Pour reconnaître deux figures symétriques par rapport à O, on repère les points qui doivent se correspondre et on vérifie que O est le milieu de chaque segment reliant un point à son image. Pour des polygones, il suffit de vérifier cette condition pour tous les sommets correspondants, en respectant l’ordre dans lequel ils sont reliés. Une seule paire de points qui ne respecte pas cette condition suffit pour conclure que les figures ne sont pas symétriques par rapport à O.

4. Le demi-tour conserve les longueurs, les angles, l’alignement et le parallélisme. Une figure et son image ont donc la même forme, les mêmes dimensions et la même aire. L’image d’un segment est un segment parallèle et de même longueur.

5. Deux figures de même forme et de mêmes dimensions ne sont pas forcément symétriques par rapport au point donné : leur position compte aussi. Il ne faut pas confondre la symétrie centrale, qui correspond à un demi-tour autour d’un point, avec la symétrie axiale, qui correspond à un retournement par rapport à une droite.

Des exemples

• Les points A, O et A′ sont alignés, et A et A′ sont situés de part et d’autre de O. On sait que OA = 17 mm et OA′ = 17 mm. A′ est-il l’image de A par la symétrie centrale de centre O ? Quelle est la longueur AA′ ?

  Les distances OA et OA′ sont égales : elles valent 17 mm et 17 mm. Comme les points sont alignés et situés de part et d’autre de O, O est bien le milieu de [AA′]. A′ est donc l’image de A par le demi-tour de centre O. Puisque O appartient au segment [AA′], on obtient AA′ = OA + OA′ = 34 mm.

• On propose une figure comme image d’un triangle ABC par la symétrie centrale de centre O. Le sommet A correspond au sommet A′. Les points A, O et A′ sont alignés, et A et A′ sont situés de part et d’autre de O, mais OA = 29 mm et OA′ = 23 mm. Cette proposition est-elle correcte ? Calcule l’écart entre ces distances.

  L’écart entre OA et OA′ vaut 29 − 23 = 6 mm. Ces distances ne sont donc pas égales : O n’est pas le milieu de [AA′]. La proposition est incorrecte, même si les autres sommets semblent bien placés. Pour reconnaître une symétrie centrale, chaque sommet doit avoir l’image attendue.