Mathématiques · 5e · environ 15 min
Réfuter une affirmation par un contre-exemple
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Repère les mots « toujours », « tout » ou « quel que soit ». Ils annoncent que l’affirmation doit fonctionner pour chaque valeur autorisée. Au lieu de vérifier beaucoup de cas, cherche un cas où elle échoue. Présente ensuite les calculs et écris que l’affirmation générale est fausse.
La valeur choisie doit être autorisée par l’énoncé. Un cas qui fonctionne ne permet pas de conclure que l’affirmation est toujours vraie.
Écris l’affirmation : « Ajouter des jetons à un tas laisse toujours le tas inchangé. » Prépare un tas, puis ajoute réellement des jetons. Le tas a changé : tu as construit un cas contraire. En calcul littéral, remplacer une lettre par une valeur joue le même rôle que préparer ce tas concret.
La manipulation aide à trouver et à comprendre un contre-exemple. Pour terminer une réponse en calcul littéral, écris aussi la valeur choisie, les calculs et la conclusion.
Pour tester « x + x = x × x pour tout x », Léna choisit x = 2 et trouve une égalité vraie. Elle ne peut pas conclure que la règle fonctionne toujours. Sami choisit x = 3 et constate que 3 + 3 ≠ 3 × 3 : lui peut conclure que l’affirmation générale est fausse. Ce qui compte n’est pas le nombre d’essais, mais le fait de trouver un cas contraire.
Une différence due à une erreur de calcul n’est pas un contre-exemple. Vérifie les calculs avant de conclure.
Les pièges
Conclure qu’une affirmation est vraie après quelques essais qui fonctionnent.
Tes essais fonctionnent, mais ils ne couvrent pas tous les cas. Cherche maintenant une valeur qui pourrait faire échouer l’affirmation.
Choisir une valeur interdite par l’énoncé.
Vérifie les conditions de départ. Choisis une valeur autorisée, puis reprends les calculs avec elle.
Donner une valeur sans calculs ni conclusion.
Tu as une piste. Remplace la lettre par ta valeur, compare les expressions et termine par : « L’affirmation générale est donc fausse. »
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Une affirmation peut sembler vraie après quelques essais et pourtant être fausse. Pour la réfuter, on cherche un cas où elle ne fonctionne pas : c’est un contre-exemple.
Le cours
Une affirmation générale annonce qu’une propriété est vraie pour toutes les valeurs autorisées. Les expressions « pour tout nombre », « toujours » ou « quel que soit le nombre choisi » permettent de la reconnaître.
Un contre-exemple est une valeur autorisée pour laquelle l’affirmation est fausse. Un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une affirmation générale est fausse, même si elle est vraie pour beaucoup d’autres valeurs.
Pour chercher un contre-exemple, commence par repérer les nombres autorisés : entiers, nombres positifs, nombres quelconques… Choisis ensuite une valeur simple et remplace la lettre par cette valeur dans l’expression. Effectue les calculs, puis vérifie si le résultat respecte ce qui est annoncé.
Si l’affirmation annonce une égalité, calcule chaque membre : des résultats différents donnent un contre-exemple. Si elle annonce une comparaison ou une propriété, vérifie précisément cette comparaison ou cette propriété.
Termine en expliquant pourquoi le cas choisi contredit l’affirmation, puis conclus explicitement : « L’affirmation générale est donc fausse. » Si ton essai vérifie l’affirmation, ce n’est pas un contre-exemple : il faut poursuivre la recherche. Même plusieurs essais qui fonctionnent ne prouvent pas qu’elle est toujours vraie.
Des exemples
On affirme : « Pour tout entier positif x, x + 6 est un nombre pair. » Cherchons un contre-exemple en choisissant x = 17.
Le nombre 17 est bien un entier positif : cette valeur est autorisée. En remplaçant x par 17, on obtient 17 + 6 = 23. Or 23 est impair, contrairement à ce qui est annoncé. La valeur 17 est donc un contre-exemple. L’affirmation générale est fausse.
On affirme : « Pour tout nombre positif x, x × 0,3 est strictement supérieur à x. » Testons cette affirmation avec x = 14.
Le nombre 14 est positif : il respecte la condition de l’énoncé. On calcule 14 × 0,3 = 21/5. Or 21/5 est inférieur à 14, et non strictement supérieur. La valeur 14 est un contre-exemple. L’affirmation générale est donc fausse.
À retenir
- Repère ce qui est affirmé et les valeurs autorisées.
- Choisis une valeur, remplace la lettre et effectue les calculs.
- Un seul cas qui contredit l’affirmation suffit à la réfuter.
- Un cas qui fonctionne ne prouve pas que l’affirmation est toujours vraie.
- Conclus explicitement : « L’affirmation générale est fausse. »
Les mots de la leçon
- Assertion
- Phrase qui affirme quelque chose et qui peut être vraie ou fausse.
- Contre-exemple
- Cas autorisé pour lequel une affirmation générale est fausse. Il suffit à montrer que cette affirmation n’est pas vraie dans tous les cas.
- Réfuter
- Montrer qu’une affirmation est fausse.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeOn affirme : « Pour tout nombre x, x + x = x × x. » En choisissant x = 3, on obtient 3 + 3 ≠ 3 × 3 : cette valeur est un contre-exemple. L’affirmation générale est donc fausse, même si elle fonctionne pour certaines autres valeurs.
On affirme : « Pour tout nombre positif x, x + 4 est supérieur à 4 × x. » Choisis une valeur qui permet de réfuter cette affirmation.
- Je choisis x = 5.Je cherche un cas où multiplier x par 4 donne davantage que lui ajouter 4.
- Je remplace x dans les deux expressions : je compare 5 + 4 et 4 × 5.Il faut utiliser la même valeur de x des deux côtés.
- La comparaison donne 5 + 4 < 4 × 5, alors que l’affirmation annonçait le contraire.Pour la valeur choisie, la propriété annoncée n’est pas respectée.
- Je conclus : « Pour x = 5, l’affirmation ne fonctionne pas. C’est un contre-exemple, donc l’affirmation générale est fausse. »Un seul cas contraire suffit à réfuter une affirmation qui prétend être vraie pour tous les nombres positifs.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Choisir une valeur qui rend une assertion fausse, effectuer les calculs correspondants et conclure explicitement que l’assertion générale est fausse.
- Au programme
- 5e · BO n°10 du 5 mars 2026, arrêté du 18 février 2026, MENE2602912A (cycle 4, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers