Mathématiques · 5e · environ 20 min
Développer et factoriser par distributivité simple
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un rectangle de hauteur k et de longueur a + b. Sépare-le en deux rectangles de longueurs a et b. Leurs aires sont ka et kb : l’aire totale s’écrit donc aussi bien k(a + b) que ka + kb. Pour une différence, pars d’un rectangle de longueur a et retire une bande de longueur b : l’aire restante s’écrit k(a − b) ou ka − kb.
Le dessin représente des longueurs positives ; pour retirer la bande, il faut que a soit supérieur à b. Les égalités de distributivité restent vraies pour tous les nombres.
Écris chaque terme comme un produit sur des cartes : une carte « k × a » et une carte « k × b ». Place un signe plus entre elles. Entoure le facteur k sur chaque carte, puis écris un seul k devant une parenthèse contenant les facteurs restants : a + b. Recommence avec un signe moins : les facteurs restants sont alors reliés par une soustraction.
Tu peux sortir un facteur seulement s’il multiplie tous les termes concernés. Un signe moins entre les cartes doit rester un signe moins dans la parenthèse.
Pour développer, repère le facteur extérieur, multiplie chaque terme intérieur par ce facteur, puis conserve le signe qui les sépare. Pour factoriser, écris les termes comme des produits, repère un facteur commun, puis place les facteurs restants dans la parenthèse. Enfin, développe ta forme factorisée : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.
Cette méthode traite la multiplication d’une somme ou d’une différence par un seul facteur. Elle ne suffit pas, à elle seule, pour développer un produit de deux parenthèses.
Les pièges
Écrire k(a + b) = ka + b.
Le second terme est lui aussi dans la parenthèse. Relie k à a, puis à b, et écris les deux produits.
Écrire k(a − b) = ka + kb.
Entoure le signe moins avant de commencer. Après avoir écrit les deux produits, remets ce signe entre eux.
Écrire ka + kb = k(a + kb).
Cherche ce qui reste dans chaque produit une fois k sorti. Puis développe ta proposition pour vérifier que tu retrouves l’expression de départ.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Développer et factoriser permettent de changer la forme d’une expression sans changer sa valeur. On s’en sert pour simplifier une expression littérale ou rendre un calcul plus facile.
Le cours
Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres. Dans un produit, on peut ne pas écrire le signe × : ka signifie k × a et k(a + b) signifie k × (a + b).
Développer, c’est transformer un produit en une somme ou une différence. Pour développer k(a + b), on multiplie chacun des termes de la parenthèse par k : k(a + b) = ka + kb. Cette propriété s’appelle la distributivité.
La distributivité s’applique aussi à une soustraction : k(a − b) = ka − kb. Le facteur k multiplie les deux termes de la parenthèse, et la soustraction est conservée. Il faut donc veiller à ne pas multiplier seulement le premier terme.
Factoriser, c’est faire la transformation inverse : on transforme une somme ou une différence en un produit. On cherche un facteur commun aux deux termes, puis on le place devant une parenthèse : ka + kb = k(a + b) et ka − kb = k(a − b). Dans la parenthèse, on écrit ce qui reste de chaque terme après avoir retiré le facteur commun.
Le facteur commun peut être un nombre ou une lettre. Il n’est pas toujours écrit séparément : dans une expression comme ax + a, le second terme peut s’écrire a × 1, donc ax + a = a(x + 1). Pour vérifier une factorisation, on développe le résultat : on doit retrouver l’expression de départ.
Des exemples
Développe 13(x + 8).
On multiplie chaque terme de la parenthèse par 13 : 13(x + 8) = 13 × x + 13 × 8. Comme 13 × 8 = 104, l’expression développée est 13x + 104.
Développe 17(x − 9).
On multiplie x et 9 par 17, en conservant la soustraction : 17(x − 9) = 17 × x − 17 × 9. Comme 17 × 9 = 153, l’expression développée est 17x − 153.
Factorise 19 × x + 19 × 6.
Le facteur 19 apparaît dans les deux termes. On le place devant la parenthèse et on garde x et 6 à l’intérieur : 19 × x + 19 × 6 = 19(x + 6). Puisque 19 × 6 = 114, cela permet aussi de factoriser 19x + 114 sous la forme 19(x + 6).
Factorise 23 × x − 23 × 4.
Le facteur commun est 23. On le place devant la parenthèse, en conservant la soustraction : 23 × x − 23 × 4 = 23(x − 4). Comme 23 × 4 = 92, on obtient aussi l’égalité 23x − 92 = 23(x − 4).
À retenir
- Développer : passer d’un produit à une somme ou une différence.
- Le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme à l’intérieur.
- k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
- Factoriser : repérer un facteur commun et le placer devant une parenthèse.
- Développer et factoriser ne changent pas la valeur de l’expression.
- Pour vérifier une factorisation, développe le produit obtenu.
Les mots de la leçon
- Distributivité
- Propriété qui permet de multiplier une somme ou une différence par un nombre en multipliant chacun de ses termes par ce nombre.
- Développer
- Transformer un produit en une somme ou une différence grâce à la distributivité.
- Factoriser
- Transformer une somme ou une différence en un produit en faisant apparaître un facteur commun.
- Facteur commun
- Nombre ou expression qui multiplie chacun des termes d’une somme ou d’une différence.
- Terme
- Élément d’une somme ou d’une différence. Dans ka + kb, les termes sont ka et kb.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans k(a + b), le facteur k multiplie chacun des termes de la parenthèse : on obtient ka + kb. Avec une différence, on garde le signe moins : k(a − b) = ka − kb. Factoriser, c’est faire le chemin inverse : repérer le facteur commun et le placer devant une parenthèse.
Développe k(a − b), puis explique comment retrouver l’écriture de départ.
- Repère k devant la parenthèse et les termes a et b à l’intérieur.Le facteur placé devant la parenthèse multiplie chacun des termes qu’elle contient.
- Écris k × a − k × b.On multiplie chaque terme par k en conservant la soustraction.
- Écris plus simplement ka − kb.Entre des lettres, on peut ne pas écrire le signe de multiplication.
- Dans ka − kb, repère le facteur commun k, puis écris k(a − b).Chaque terme contient k. En le mettant devant la parenthèse, il reste a − b à l’intérieur.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Transformer k(a + b) et k(a − b) en sommes développées, puis effectuer les transformations inverses en repérant le facteur commun.
- Au programme
- 5e · BO n°10 du 5 mars 2026, arrêté du 18 février 2026, MENE2602912A (cycle 4, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers