Mathématiques · 5e · environ 20 min
Prouver une propriété valable pour tout nombre
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Pour deux entiers naturels consécutifs, imagine une rangée de n points et une autre rangée contenant un point de plus. Associe chaque point de la première rangée à un point de la seconde : tu obtiens n paires et un point isolé. Cela correspond à 2n + 1, donc à un nombre impair. Le dessin aide à voir pourquoi la lettre n peut remplacer la longueur des rangées.
Les rangées représentent directement des entiers naturels. Pour inclure aussi les entiers négatifs, utilise la transformation n + (n + 1) = 2n + 1.
Commence par nommer le nombre avec une lettre et précise ce qu’il représente. Traduis ensuite les autres nombres de l’énoncé avec cette même lettre : le suivant de n est n + 1, le précédent est n − 1. Transforme l’expression jusqu’à faire apparaître ce que tu veux prouver : un double pour un nombre pair, un double augmenté d’une unité pour un nombre impair, ou deux expressions identiques pour une égalité. Termine par une phrase qui relie ton calcul à la propriété annoncée.
La lettre doit garder le même sens pendant tout le raisonnement. Pour parler de nombres pairs ou impairs, elle doit représenter un entier. Quelques essais numériques ne suffisent pas à prouver une propriété générale.
Les pièges
Vérifier avec quelques nombres et conclure que la propriété est toujours vraie.
Tes essais peuvent t’aider à comprendre ce qui se passe. Maintenant, remplace le nombre choisi par une lettre et cherche un calcul qui fonctionne sans fixer sa valeur.
Écrire n et m pour deux entiers consécutifs sans préciser leur lien.
Garde n pour le premier entier et écris le suivant n + 1. Ainsi, leur écart apparaît directement.
Écrire n + n = n².
Tu additionnes deux fois le même nombre : écris 2n. Réserve n² au produit n × n.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Le calcul littéral permet de prouver qu’une propriété est vraie pour tous les nombres concernés, et pas seulement pour quelques exemples. On l’utilise en représentant un nombre quelconque par une lettre, puis en transformant une expression.
Le cours
Tester une propriété sur quelques nombres permet de comprendre ce qu’elle affirme, mais ne suffit pas à la démontrer pour tous les nombres. Pour obtenir une preuve générale, on choisit une lettre et on précise ce qu’elle représente : par exemple, « Soit n un entier quelconque ».
On traduit ensuite la propriété par une expression littérale. Si n est un entier, l’entier qui le suit est n + 1. Un entier pair peut s’écrire 2k et un entier impair peut s’écrire 2k + 1, où k est un entier.
On transforme l’expression en utilisant les règles de calcul : on regroupe les termes de même nature, on réduit les sommes et, si nécessaire, on utilise la distributivité. Par exemple, a(n + b) = an + ab. Chaque transformation doit conserver la valeur de l’expression.
Pour démontrer que la somme de deux entiers consécutifs est impaire, on écrit ces entiers n et n + 1. Leur somme vaut n + (n + 1) = 2n + 1. Comme n est un entier, cette expression est celle d’un nombre impair. La propriété est donc vraie pour tous les entiers consécutifs.
Une démonstration se termine par une conclusion qui répond à la question. La lettre doit être restée quelconque pendant le raisonnement : lui donner une valeur particulière ne prouverait la propriété que pour ce cas. À l’inverse, un seul exemple où une propriété est fausse suffit à montrer qu’elle n’est pas vraie pour tous les nombres.
Des exemples
Calcule la somme des entiers consécutifs 46 et 47. Ce calcul suffit-il à prouver que la somme d’entiers consécutifs est toujours impaire ?
46 + 47 = 93. Le résultat est bien impair, mais ce calcul vérifie seulement un cas particulier. La preuve générale repose sur l’écriture littérale présentée dans le cours : elle concerne un entier quelconque et son suivant.
On choisit un nombre quelconque x. On lui ajoute 13, on multiplie la somme par 7, puis on retire 7 fois le nombre choisi. Prouve que le résultat ne dépend pas de x.
Le résultat s’écrit 7(x + 13) − 7x. En utilisant la distributivité, on obtient 7x + 7 × 13 − 7x. Les termes opposés s’annulent : il reste 7 × 13 = 91. L’expression finale ne contient plus x : le résultat est donc toujours 91, quel que soit le nombre choisi.
Prouve que la somme de 8 fois un nombre x et de 14 fois ce même nombre est toujours un multiple de x lorsque x est un entier.
La somme s’écrit 8x + 14x. On regroupe les termes en x : 8x + 14x = (8 + 14)x = 22x. L’expression obtenue est le produit de x par un entier : c’est donc un multiple de x, quel que soit l’entier x.
À retenir
- Quelques exemples ne suffisent pas à prouver une propriété générale.
- Une lettre représente un nombre quelconque ; on précise les nombres concernés.
- On traduit l’énoncé par une expression, puis on la transforme sans changer sa valeur.
- Deux entiers consécutifs s’écrivent n et n + 1.
- Un entier pair s’écrit 2k ; un entier impair s’écrit 2k + 1, avec k entier.
- On conclut en expliquant pourquoi l’expression obtenue prouve la propriété.
Les mots de la leçon
- Expression littérale
- Expression mathématique contenant des lettres qui représentent des nombres.
- Entiers consécutifs
- Entiers qui se suivent, sans entier entre eux.
- Démontrer
- Établir qu’une affirmation est vraie à l’aide d’un raisonnement et de propriétés connues.
- Contre-exemple
- Exemple pour lequel une affirmation est fausse. Il suffit à réfuter une affirmation annoncée comme vraie dans tous les cas.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour représenter deux entiers consécutifs, tu peux écrire n et n + 1 : la lettre n peut désigner n’importe quel entier. Leur somme est n + (n + 1) = 2n + 1 : c’est le double d’un entier, augmenté d’une unité, donc un nombre impair.
Démontre que la somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.
- On appelle n le premier entier.On ne choisit pas de valeur particulière : le raisonnement doit fonctionner pour tous les entiers.
- L’entier suivant s’écrit n + 1.Deux entiers consécutifs se suivent avec un écart d’une unité.
- Leur somme s’écrit n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1.On regroupe les deux termes n pour obtenir le double de n.
- Le nombre 2n est pair, donc 2n + 1 est impair.Un nombre impair s’écrit comme le double d’un entier augmenté d’une unité.
- La somme de deux entiers consécutifs est donc toujours impaire.Aucune étape ne dépend d’un choix particulier de n.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Représenter un nombre quelconque par une lettre et transformer une expression pour démontrer une propriété générale, par exemple que la somme de deux entiers consécutifs est impaire.
- Au programme
- 5e · BO n°10 du 5 mars 2026, arrêté du 18 février 2026, MENE2602912A (cycle 4, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers