Conjecturer une relation avec un tableur ou un algorithme

Un tableur ou un court algorithme permet de calculer rapidement plusieurs valeurs pour chercher une relation entre des nombres. On s’en sert pour repérer une régularité et proposer une conjecture, qu’il faudra ensuite démontrer.

Le cours

1. Pour construire un tableau de valeurs, on choisit plusieurs valeurs d’un nombre, souvent noté n, puis on applique la même règle de calcul à chacune. Par exemple, pour comparer les expressions 4 × (n + 2) et 4 × n + 8, on prépare une colonne pour n et une colonne pour chaque expression.

2. Dans un tableur, on écrit les titres dans les cellules A1, B1 et C1, puis les valeurs choisies dans la colonne A à partir de A2. Dans B2, on saisit =4*(A2+2) ; dans C2, on saisit =4*A2+8. Une formule commence par le signe = et le symbole * signifie « multiplier ». En recopiant les formules vers le bas, le tableur adapte les références : A2 devient A3, puis A4. Pour n égal à 0, 1, 2 et 3, les deux colonnes donnent respectivement 8, 12, 16 et 20.

3. Un court algorithme peut effectuer le même travail : pour chaque valeur choisie de n, calculer u = 4 × (n + 2), calculer v = 4 × n + 8, puis afficher n, u et v. Il faut préciser les valeurs à essayer et les calculs à effectuer. Le tableau ou les résultats affichés permettent ensuite de comparer les valeurs obtenues.

4. On observe les résultats pour chercher une régularité : des résultats égaux, un même écart ou une même façon de passer d’une valeur à la suivante. On formule alors une conjecture avec une phrase précise. Ici : « Il semble que les expressions 4 × (n + 2) et 4 × n + 8 soient égales pour tout nombre n. »

5. Une conjecture n’est pas une démonstration : même de nombreux essais ne prouvent pas qu’une relation est toujours vraie. Un seul contre-exemple suffit à montrer qu’elle est fausse. Pour prouver une égalité pour tout nombre n, on utilise les propriétés du calcul : ici, la distributivité donne 4 × (n + 2) = 4 × n + 4 × 2 = 4 × n + 8.

Des exemples

• On étudie les multiples de 7. Dans un tableur, la colonne A contient les valeurs de n et la colonne B contient le produit de n par 7. Complète la ligne où n vaut 8.

  Dans la cellule de la colonne B, on multiplie la valeur de la même ligne dans la colonne A par 7. Pour n = 8, on obtient 8 × 7 = 56. Le tableau associe donc la valeur 8 au résultat 56.

• On poursuit le tableau des multiples de 7 avec n = 9. Calcule le résultat et indique la régularité à rechercher dans les lignes successives.

  Le calcul donne 9 × 7 = 63. En comparant les lignes où les valeurs de n se suivent, on cherche si le résultat augmente toujours de 7. La conjecture est : « Quand n augmente d’une unité, son produit par 7 augmente de 7. » Les essais permettent de proposer cette relation, mais pas de la démontrer. La distributivité permet de la justifier : 7 × (n + une unité) est égal à 7 × n + 7.