Utiliser une simulation numérique ou géométrique guidée

Une simulation permet d’imiter une expérience aléatoire avec un ordinateur, une calculatrice ou une figure géométrique. On l’utilise pour répéter rapidement l’expérience et observer les résultats obtenus.

Le cours

1. Pour construire une simulation, on commence par préciser l’expérience et ses issues possibles. On choisit ensuite ce que représentera chaque nombre ou chaque position produit au hasard. Cette correspondance doit respecter les chances des différentes issues : on ne peut pas attribuer automatiquement les mêmes chances à toutes les issues.

2. Par exemple, pour simuler le tirage d’une boule dans un sac contenant 3 boules rouges et 7 boules bleues, on peut faire choisir au hasard un entier de 1 à 10, chaque entier ayant la même chance d’être choisi. On associe les nombres de 1 à 3 à « rouge » et ceux de 4 à 10 à « bleu ». Pour simuler des tirages avec remise, on conserve ce même réglage à chaque répétition.

3. Une simulation peut aussi être géométrique : on peut faire tourner une roue ou placer un point au hasard dans une surface. Si les positions sont choisies uniformément, les chances d’atteindre une zone dépendent de sa taille : de son angle pour une roue, de son aire pour une surface. Des zones de même taille ont alors les mêmes chances d’être atteintes.

4. Pour exécuter une simulation guidée, on suit les consignes : régler le générateur ou la figure, fixer le nombre de répétitions, lancer la simulation, puis relever les résultats. Chaque nombre ou position obtenu doit être traduit en une issue grâce à la correspondance choisie. On compte ensuite les apparitions de chaque issue : ce sont leurs effectifs.

5. Pour interpréter les résultats, on calcule la fréquence d’une issue : fréquence = effectif de cette issue ÷ nombre total de répétitions. Cette fréquence peut varier d’une simulation à l’autre. Quand le nombre de répétitions devient grand, elle tend à se stabiliser autour de la probabilité de l’issue, sans être nécessairement égale à celle-ci. Une simulation aide donc à estimer une probabilité, mais ne la démontre pas.

Des exemples

• Une roue virtuelle comporte 23 secteurs de même angle. Parmi eux, 9 sont verts et les autres sont orange. Le simulateur fournit le secteur désigné par la flèche. Combien de secteurs faut-il associer à l’issue « orange » ?

  On associe chaque secteur à sa couleur. Le nombre de secteurs orange est égal au nombre total de secteurs moins le nombre de secteurs verts : 23 − 9 = 14. Comme les secteurs ont le même angle, chacun a la même chance d’être désigné.

• Un programme simule des tirages avec remise. Il exécute 37 séries de 24 tirages, sans changer les règles de correspondance entre les nombres produits et les couleurs. Combien de tirages sont simulés au total ?

  Chaque série contient 24 tirages et le programme exécute 37 séries. Il simule donc 37 × 24 = 888 tirages. Pour analyser l’ensemble des résultats, on rassemble les effectifs obtenus dans toutes les séries.

• Après 450 répétitions d’une expérience simulée, la fréquence de l’issue « succès » est de 38 %. Combien de succès ont été observés et que permet de conclure ce résultat ?

  L’effectif des succès est égal à 38 % de 450, soit 171 succès. La fréquence observée permet d’estimer la probabilité d’un succès à environ 38 %. Elle ne garantit pas que la prochaine simulation donnera exactement la même fréquence.