Traiter une série pour répondre à une question

Une série statistique permet de répondre à une question à partir de données recueillies, par exemple pour comparer des temps de trajet ou connaître les habitudes d’un groupe. Il faut organiser ces données, choisir une représentation et calculer les indicateurs qui aident réellement à répondre à la question.

Le cours

1. Commence par préciser la question étudiée, le groupe observé et ce qui est mesuré ou relevé : durée, distance, nombre de livres, moyen de transport… Vérifie les unités et rassemble les données dans un tableau. Pour chaque valeur ou catégorie, indique son effectif, c’est-à-dire le nombre de fois où elle apparaît. La somme des effectifs donne l’effectif total. La fréquence d’une valeur est son effectif divisé par l’effectif total ; pour l’exprimer en pourcentage, multiplie ce quotient par 100. La somme des fréquences vaut 1, soit 100 %, à d’éventuels écarts d’arrondi près.

2. Choisis une représentation adaptée aux données et à la question. Un diagramme en bâtons permet de comparer des effectifs ou des fréquences ; un diagramme circulaire montre la répartition d’un ensemble ; une courbe peut montrer une évolution au cours du temps. Ajoute un titre, des légendes et les unités. Sur un graphique avec des axes, choisis une graduation régulière et vérifie l’échelle avant de comparer les valeurs.

3. Pour une série de données numériques, la moyenne se calcule en divisant la somme des valeurs par l’effectif total. Si les données sont présentées dans un tableau d’effectifs, multiplie chaque valeur par son effectif, additionne les produits, puis divise par l’effectif total. La moyenne tient compte de toutes les valeurs : une valeur exceptionnellement grande ou petite peut donc la modifier fortement. Elle n’est pas nécessairement une valeur observée dans la série.

4. Pour déterminer la médiane, range les données numériques dans l’ordre croissant, en répétant chaque valeur autant de fois que son effectif l’indique. Si l’effectif total est impair, prends la valeur centrale ; s’il est pair, prends la moyenne des deux valeurs centrales. Par exemple, avec 9 données, la médiane est la valeur de rang 5 ; avec 10 données, on prend la moyenne des valeurs de rangs 5 et 6. Au moins la moitié des données sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : elle renseigne sur l’écart entre les extrêmes.

5. Interprète les résultats en fonction de la question : un effectif indique combien, une fréquence indique quelle proportion, la moyenne résume le niveau global, la médiane situe le centre de la série et l’étendue mesure l’écart entre les extrêmes. Des séries de même moyenne peuvent avoir des répartitions très différentes. Pour comparer des groupes de tailles différentes, utilise plutôt les fréquences que les seuls effectifs. Termine par une phrase qui répond à la question avec les unités utiles, sans généraliser au-delà du groupe étudié.

Des exemples

• Dans une enquête sur les trajets vers le collège, 6 élèves déclarent chacun un trajet de 17 minutes. Quelle durée totale ces trajets apportent-ils à la somme utilisée pour calculer la moyenne ?

  La valeur 17 apparaît avec l’effectif 6. Sa contribution à la somme est donc 17 × 6 = 102 minutes. Pour obtenir ensuite la moyenne de toute l’enquête, il faudra additionner les contributions de toutes les valeurs et diviser par l’effectif total.

• La somme des temps de trajet d’un groupe est de 184 minutes. Pour calculer la moyenne, on multiplie cette somme par 1/8, qui est l’inverse de l’effectif total. Quel est le temps de trajet moyen ?

  Multiplier par 1/8 revient ici à diviser par l’effectif total. Le calcul 184 × 1/8 donne une moyenne de 23 minutes. Ce résultat résume les temps de trajet du groupe, mais ne signifie pas que tous les élèves ont cette durée de trajet.

• Dans une enquête sur les trajets vers le collège, le trajet le plus long dure 37 minutes et le plus court dure 14 minutes. Quelle est l’étendue des temps de trajet ?

  On soustrait la plus petite valeur à la plus grande : 37 − 14 = 23 minutes. Les durées extrêmes sont donc séparées de 23 minutes. L’étendue ne permet pas, à elle seule, de savoir comment les autres durées sont réparties.