Relier fréquence expérimentale et probabilité théorique

Quand on répète une expérience aléatoire, on peut comparer les résultats observés à ce que prévoit la probabilité. Ce lien sert notamment à comprendre les résultats de lancers, de tirages ou de simulations sur ordinateur.

Le cours

1. La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui décrit ses chances de se produire dans un modèle donné. Elle ne se calcule pas à partir des résultats observés. Lorsque toutes les issues sont aussi probables, elle est égale au nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues possibles.

2. La fréquence expérimentale d’un évènement se calcule après avoir réalisé l’expérience : fréquence = nombre de réalisations de l’évènement ÷ nombre total de répétitions. Elle est comprise entre 0 et 1 et peut aussi s’exprimer en pourcentage. Elle peut changer d’une série d’expériences à une autre.

3. Pour comparer une fréquence et une probabilité, on les exprime sous une même forme : fractions, nombres décimaux ou pourcentages. L’écart entre elles est la différence entre la plus grande et la plus petite des deux valeurs. Plus cet écart est faible, plus la fréquence est proche de la probabilité.

4. Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience dans les mêmes conditions et de façon indépendante, la fréquence d’un évènement tend à se stabiliser autour de sa probabilité. « De façon indépendante » signifie ici que le résultat d’une répétition ne modifie pas les chances des résultats suivants.

5. Cette stabilisation n’est pas un rapprochement régulier : la fréquence peut se rapprocher de la probabilité, puis s’en éloigner temporairement, avant de s’en rapprocher à nouveau. Même après de nombreuses répétitions, elle n’est pas obligatoirement égale à la probabilité. On ne peut donc pas garantir un résultat exact pour une série donnée.

Des exemples

• On lance une même pièce équilibrée et on étudie l’évènement « obtenir pile », de probabilité 1/2. Après 70 lancers, on a obtenu pile 39 fois. Comparons la fréquence observée à la probabilité.

  La fréquence observée est 39/70. Sa comparaison avec 1/2 donne : >. La fréquence est donc supérieure à la probabilité. Cela ne suffit pas à remettre en cause le modèle de la pièce équilibrée : les résultats varient au hasard.

• La même série de lancers se poursuit : on compte maintenant 176 résultats pile sur un total de 350 lancers. La probabilité d’obtenir pile reste 1/2. Comparons à nouveau la fréquence et la probabilité.

  La fréquence est maintenant de 176/350. Comparée à 1/2, elle donne : >. Elle reste supérieure à la probabilité, avec un écart plus faible que lors du relevé précédent. Sur cette partie de l’expérience, la fréquence s’est donc rapprochée de la probabilité.

• On continue encore la même expérience. Après 1400 lancers au total, on a obtenu pile 718 fois. Comparons cette nouvelle fréquence à la probabilité 1/2.

  La nouvelle fréquence est 718/1400. Sa comparaison avec 1/2 donne : >. Elle reste supérieure à la probabilité. L’écart est plus grand que dans le relevé précédent, tout en restant plus faible que dans le premier relevé. Davantage de répétitions ne garantit donc pas que la fréquence se rapproche de la probabilité à chaque étape.